Cálculo Exemplos

$y = \frac{25}{x^{2}}$ at the point $(5, 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 5$ e $y = 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{25}{x^{2}}$ em relação a $x$ é $25 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$25 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$25 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Etapa 1.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Etapa 1.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$25 (- 2 x^{- 3})$

Etapa 1.4

Multiplique $- 2$ por $25$ .

$- 50 x^{- 3}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 50 \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 1.5.2

Combine os termos.

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Etapa 1.5.2.1

Combine $- 50$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 50}{x^{3}}$

Etapa 1.5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{50}{x^{3}}$

Etapa 1.6

Avalie a derivada em $x = 5$ .

$- \frac{50}{{(5)}^{3}}$

Etapa 1.7

Simplifique.

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Etapa 1.7.1

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$- \frac{50}{125}$

Etapa 1.7.2

Cancele o fator comum de $50$ e $125$ .

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Etapa 1.7.2.1

Fatore $25$ de $50$ .

$- \frac{25 (2)}{125}$

Etapa 1.7.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.7.2.2.1

Fatore $25$ de $125$ .

$- \frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 5}$

Etapa 1.7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 5}$

Etapa 1.7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{2}{5}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- \frac{2}{5}$ e um ponto determinado $(5, 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{2}{5} \cdot (x - (5))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 = - \frac{2}{5} \cdot (x - 5)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- \frac{2}{5} \cdot (x - 5)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{2}{5} \cdot (x - 5)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 1 = - \frac{2}{5} x - \frac{2}{5} \cdot - 5$

Etapa 2.3.1.2.2

Combine $x$ e $\frac{2}{5}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} - \frac{2}{5} \cdot - 5$

Etapa 2.3.1.2.3

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 2.3.1.2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{5}$ para o numerador.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot - 5$

Etapa 2.3.1.2.3.2

Fatore $5$ de $- 5$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot (5 (- 1))$

Etapa 2.3.1.2.3.3

Cancele o fator comum.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.2.3.4

Reescreva a expressão.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} - 2 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.2.4

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} + 2$

Etapa 2.3.1.3

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$y - 1 = - \frac{2 x}{5} + 2$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = - \frac{2 x}{5} + 2 + 1$

Etapa 2.3.2.2

Some $2$ e $1$ .

$y = - \frac{2 x}{5} + 3$

Etapa 2.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.3.3.1

Reordene os termos.

$y = - (\frac{2}{5} x) + 3$

Etapa 2.3.3.2

Remova os parênteses.

$y = - \frac{2}{5} x + 3$

Etapa 3