Cálculo Exemplos

$f (x) = \sec (x) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ at $x = - \frac{π}{3}$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = - \frac{π}{3}$ .

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Etapa 1.1

Substitua $- \frac{π}{3}$ por $x$ .

$y = \sec (- \frac{π}{3}) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = \sec (- \frac{π}{3}) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

Etapa 1.2.2

Simplifique $\sec (- \frac{π}{3}) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ .

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Etapa 1.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.2.1.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$y = \sec (\frac{5 π}{3}) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

Etapa 1.2.2.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$y = \sec (\frac{π}{3}) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

Etapa 1.2.2.1.3

O valor exato de $\sec (\frac{π}{3})$ é $2$ .

$y = 2 + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

Etapa 1.2.2.2

Some $2$ e $1$ .

$y = 3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = - \frac{π}{3}$ e $y = 3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sec (x) + 1 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{2 \sqrt{3} π}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{2 \sqrt{3} π}{3}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{2 \sqrt{3} π}{3}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\sec (x) \tan (x) + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2 \sqrt{3} π}{3}]$

Etapa 2.3.2

Como $\frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\sec (x) \tan (x) + 0 + 0$

Etapa 2.4

Combine os termos.

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Etapa 2.4.1

Some $\sec (x) \tan (x)$ e $0$ .

$\sec (x) \tan (x) + 0$

Etapa 2.4.2

Some $\sec (x) \tan (x)$ e $0$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Etapa 2.5

Avalie a derivada em $x = - \frac{π}{3}$ .

$\sec (- \frac{π}{3}) \tan (- \frac{π}{3})$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\sec (\frac{5 π}{3}) \tan (- \frac{π}{3})$

Etapa 2.6.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\sec (\frac{π}{3}) \tan (- \frac{π}{3})$

Etapa 2.6.3

O valor exato de $\sec (\frac{π}{3})$ é $2$ .

$2 \tan (- \frac{π}{3})$

Etapa 2.6.4

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$2 \tan (\frac{5 π}{3})$

Etapa 2.6.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no quarto quadrante.

$2 (- \tan (\frac{π}{3}))$

Etapa 2.6.6

O valor exato de $\tan (\frac{π}{3})$ é $\sqrt{3}$ .

$2 (- \sqrt{3})$

Etapa 2.6.7

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sqrt{3}$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $- 2 \sqrt{3}$ e um ponto determinado $(- \frac{π}{3}, 3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}) = - 2 \sqrt{3} \cdot (x - (- \frac{π}{3}))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} \cdot (x + \frac{π}{3})$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $- 2 \sqrt{3} \cdot (x + \frac{π}{3})$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = 0 + 0 - 2 \sqrt{3} \cdot (x + \frac{π}{3})$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} \cdot (x + \frac{π}{3})$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x - 2 \sqrt{3} \frac{π}{3}$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $- 2 \sqrt{3} \frac{π}{3}$ .

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Etapa 3.3.1.4.1

Combine $\frac{π}{3}$ e $- 2$ .

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 2}{3} \sqrt{3}$

Etapa 3.3.1.4.2

Combine $\frac{π \cdot - 2}{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 3.3.1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.5.1

Mova $- 2$ para a esquerda de $π$ .

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x + \frac{- 2 \cdot π \sqrt{3}}{3}$

Etapa 3.3.1.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - 3 - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$y - \frac{2 \sqrt{3} π}{3} = - 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 3$

Etapa 3.3.2.2

Some $\frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ aos dois lados da equação.

$y = - 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$

Etapa 3.3.2.3

Combine os termos opostos em $- 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 3 + \frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ .

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Etapa 3.3.2.3.1

Reorganize os fatores nos termos $- \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$ e $\frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ .

$y = - 2 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 3 + \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$

Etapa 3.3.2.3.2

Some $- \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$ e $\frac{2 π \sqrt{3}}{3}$ .

$y = - 2 \sqrt{3} x + 0 + 3$

Etapa 3.3.2.3.3

Some $- 2 \sqrt{3} x$ e $0$ .

$y = - 2 \sqrt{3} x + 3$

Etapa 4