Cálculo Exemplos

$y = \sin (8 x) + \sin^{2} (8 x)$ , $(0, 0)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 0$ e $y = 0$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (8 x) + \sin^{2} (8 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (8 x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (8 x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]$ .

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Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 8 x$ .

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Etapa 1.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $8 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$

Etapa 1.2.1.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$

Etapa 1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $8 x$ .

$\cos (8 x) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$

Etapa 1.2.2

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (8 x) (8 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$

Etapa 1.2.4

Multiplique $8$ por $1$ .

$\cos (8 x) \cdot 8 + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$

Etapa 1.2.5

Mova $8$ para a esquerda de $\cos (8 x)$ .

$8 \cos (8 x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (8 x)$ .

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Etapa 1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\sin (8 x)$ .

$8 \cos (8 x) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]$

Etapa 1.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$8 \cos (8 x) + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]$

Etapa 1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (8 x)$ .

$8 \cos (8 x) + 2 \sin (8 x) \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 8 x$ .

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Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $8 x$ .

$8 \cos (8 x) + 2 \sin (8 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [8 x])$

Etapa 1.3.2.2

A derivada de $\sin (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $\cos (u_{3})$ .

$8 \cos (8 x) + 2 \sin (8 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [8 x])$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $8 x$ .

$8 \cos (8 x) + 2 \sin (8 x) (\cos (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])$

Etapa 1.3.3

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \cos (8 x) + 2 \sin (8 x) (\cos (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 \cos (8 x) + 2 \sin (8 x) (\cos (8 x) (8 \cdot 1))$

Etapa 1.3.5

Multiplique $8$ por $1$ .

$8 \cos (8 x) + 2 \sin (8 x) (\cos (8 x) \cdot 8)$

Etapa 1.3.6

Mova $8$ para a esquerda de $\cos (8 x)$ .

$8 \cos (8 x) + 2 \sin (8 x) (8 \cdot \cos (8 x))$

Etapa 1.3.7

Multiplique $8$ por $2$ .

$8 \cos (8 x) + 16 \sin (8 x) \cos (8 x)$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$16 \cos (8 x) \sin (8 x) + 8 \cos (8 x)$

Etapa 1.5

Avalie a derivada em $x = 0$ .

$16 \cos (8 (0)) \sin (8 (0)) + 8 \cos (8 (0))$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.1.1

Multiplique $8$ por $0$ .

$16 \cos (0) \sin (8 (0)) + 8 \cos (8 (0))$

Etapa 1.6.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$16 \cdot 1 \sin (8 (0)) + 8 \cos (8 (0))$

Etapa 1.6.1.3

Multiplique $16$ por $1$ .

$16 \sin (8 (0)) + 8 \cos (8 (0))$

Etapa 1.6.1.4

Multiplique $8$ por $0$ .

$16 \sin (0) + 8 \cos (8 (0))$

Etapa 1.6.1.5

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$16 \cdot 0 + 8 \cos (8 (0))$

Etapa 1.6.1.6

Multiplique $16$ por $0$ .

$0 + 8 \cos (8 (0))$

Etapa 1.6.1.7

Multiplique $8$ por $0$ .

$0 + 8 \cos (0)$

Etapa 1.6.1.8

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$0 + 8 \cdot 1$

Etapa 1.6.1.9

Multiplique $8$ por $1$ .

$0 + 8$

Etapa 1.6.2

Some $0$ e $8$ .

$8$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $8$ e um ponto determinado $(0, 0)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 8 \cdot (x - (0))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 0 = 8 \cdot (x + 0)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Some $y$ e $0$ .

$y = 8 \cdot (x + 0)$

Etapa 2.3.2

Some $x$ e $0$ .

$y = 8 x$

Etapa 3