Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$ ; , $x = 1$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = 1$ .

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Etapa 1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$y = \sqrt{1} + \frac{2}{\sqrt{1}}$

Etapa 1.2

Simplifique $\sqrt{1} + \frac{2}{\sqrt{1}}$ .

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Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = \sqrt{1} + \frac{2}{\sqrt{1}}$

Etapa 1.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.2.1

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$y = 1 + \frac{2}{\sqrt{1}}$

Etapa 1.2.2.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$y = 1 + \frac{2}{1}$

Etapa 1.2.2.3

Divida $2$ por $1$ .

$y = 1 + 2$

Etapa 1.2.3

Some $1$ e $2$ .

$y = 3$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = 3$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Etapa 2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Etapa 2.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Etapa 2.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Etapa 2.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Etapa 2.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Etapa 2.2.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Etapa 2.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$ .

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Etapa 2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 2.3.6

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.3.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 2.3.6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.6.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 2.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 2.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 2.3.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Etapa 2.3.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 2.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 2.3.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Etapa 2.3.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Etapa 2.3.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Etapa 2.3.12

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 2.3.13

Combine $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Etapa 2.3.14

Multiplique $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x^{- 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.14.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Etapa 2.3.14.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Etapa 2.3.14.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Etapa 2.3.14.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Etapa 2.3.14.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.14.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Etapa 2.3.14.5.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Etapa 2.3.14.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Etapa 2.3.15

Mova $x^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 2.3.16

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.3.17

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.3.18

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.3.19

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.19.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

Etapa 2.3.19.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.3.19.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.3.20

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.4.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.5

Avalie a derivada em $x = 1$ .

$\frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.6.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2 \cdot 1} - \frac{1}{{(1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.6.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{{(1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.6.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{1}$

Etapa 2.6.1.4

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 2.6.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{1}$

Etapa 2.6.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} - 1 \cdot 1$

Etapa 2.6.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - 1$

Etapa 2.6.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 2.6.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.6.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1 - 2}{2}$

Etapa 2.6.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Etapa 2.6.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2}$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $- \frac{1}{2}$ e um ponto determinado $(1, 3)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (1))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 3 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $- \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 3 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 3 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Etapa 3.3.1.4

Combine $x$ e $\frac{1}{2}$ .

$y - 3 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Etapa 3.3.1.5

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 3.3.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y - 3 = - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Etapa 3.3.1.5.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$y - 3 = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + 3$

Etapa 3.3.2.2

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.3.2.3

Combine $3$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1 + 3 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.2.5.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1 + 6}{2}$

Etapa 3.3.2.5.2

Some $1$ e $6$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{7}{2}$

Etapa 3.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 3.3.3.1

Reordene os termos.

$y = - (\frac{1}{2} x) + \frac{7}{2}$

Etapa 3.3.3.2

Remova os parênteses.

$y = - \frac{1}{2} x + \frac{7}{2}$

Etapa 4