Cálculo Exemplos

$g (x) = \frac{6 x}{x + 5}$ at $(- 3, - 9)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = - 3$ e $y = - 9$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{6 x}{x + 5}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x + 5$ .

$6 \frac{(x + 5) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \frac{(x + 5) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $x + 5$ por $1$ .

$6 \frac{x + 5 - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$6 \frac{x + 5 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \frac{x + 5 - x (1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.5

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 \frac{x + 5 - x (1 + 0)}{{(x + 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.6

Simplifique os termos.

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Etapa 1.3.6.1

Some $1$ e $0$ .

$6 \frac{x + 5 - x \cdot 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$6 \frac{x + 5 - x}{{(x + 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$6 \frac{0 + 5}{{(x + 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.4

Some $0$ e $5$ .

$6 \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.5

Combine $6$ e $\frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$\frac{6 \cdot 5}{{(x + 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.6

Multiplique $6$ por $5$ .

$\frac{30}{{(x + 5)}^{2}}$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = - 3$ .

$\frac{30}{{((- 3) + 5)}^{2}}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.5.1.1

Some $- 3$ e $5$ .

$\frac{30}{2^{2}}$

Etapa 1.5.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{30}{4}$

Etapa 1.5.2

Cancele o fator comum de $30$ e $4$ .

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Etapa 1.5.2.1

Fatore $2$ de $30$ .

$\frac{2 (15)}{4}$

Etapa 1.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.5.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{15}{2}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{15}{2}$ e um ponto determinado $(- 3, - 9)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 9) = \frac{15}{2} \cdot (x - (- 3))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 9 = \frac{15}{2} \cdot (x + 3)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{15}{2} \cdot (x + 3)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y + 9 = 0 + 0 + \frac{15}{2} \cdot (x + 3)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y + 9 = \frac{15}{2} \cdot (x + 3)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + 9 = \frac{15}{2} x + \frac{15}{2} \cdot 3$

Etapa 2.3.1.4

Combine $\frac{15}{2}$ e $x$ .

$y + 9 = \frac{15 x}{2} + \frac{15}{2} \cdot 3$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $\frac{15}{2} \cdot 3$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Combine $\frac{15}{2}$ e $3$ .

$y + 9 = \frac{15 x}{2} + \frac{15 \cdot 3}{2}$

Etapa 2.3.1.5.2

Multiplique $15$ por $3$ .

$y + 9 = \frac{15 x}{2} + \frac{45}{2}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45}{2} - 9$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $- 9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 2.3.2.3

Combine $- 9$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45 - 9 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.5.1

Multiplique $- 9$ por $2$ .

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45 - 18}{2}$

Etapa 2.3.2.5.2

Subtraia $18$ de $45$ .

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{27}{2}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{15}{2} x + \frac{27}{2}$

Etapa 3