Cálculo Exemplos

$y = 2 e^{x} \cos (x)$ , $(0, 2)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 0$ e $y = 2$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 e^{x} \cos (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Etapa 1.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (e^{x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) e^{x})$

Etapa 1.5.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 e^{x} \sin (x) + 2 \cos (x) e^{x}$

Etapa 1.5.3

Reordene os termos.

$- 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$

Etapa 1.6

Avalie a derivada em $x = 0$ .

$- 2 e^{0} \sin (0) + 2 e^{0} \cos (0)$

Etapa 1.7

Simplifique.

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Etapa 1.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- 2 \cdot 1 \sin (0) + 2 e^{0} \cos (0)$

Etapa 1.7.1.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 \sin (0) + 2 e^{0} \cos (0)$

Etapa 1.7.1.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- 2 \cdot 0 + 2 e^{0} \cos (0)$

Etapa 1.7.1.4

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$0 + 2 e^{0} \cos (0)$

Etapa 1.7.1.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 + 2 \cdot 1 \cos (0)$

Etapa 1.7.1.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$0 + 2 \cos (0)$

Etapa 1.7.1.7

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Etapa 1.7.1.8

Multiplique $2$ por $1$ .

$0 + 2$

Etapa 1.7.2

Some $0$ e $2$ .

$2$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $2$ e um ponto determinado $(0, 2)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 2 \cdot (x - (0))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 2 = 2 \cdot (x + 0)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Some $x$ e $0$ .

$y - 2 = 2 x$

Etapa 2.3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = 2 x + 2$

Etapa 3