Cálculo Exemplos

$y^{4} + x^{3} = y^{2} + 12 x$ , tangent at $(0, 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 0$ e $y = 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y^{4} + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2} + 12 x)$

Etapa 1.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{4} + x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 1.2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 y^{3} y' + 3 x^{2}$

Etapa 1.2.3.2

Reordene os termos.

$3 x^{2} + 4 y^{3} y'$

Etapa 1.3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} + 12 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Etapa 1.3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Etapa 1.3.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 1.3.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Etapa 1.3.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Etapa 1.3.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Etapa 1.3.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [12 x]$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y y' + 12 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 y y' + 12 \cdot 1$

Etapa 1.3.3.3

Multiplique $12$ por $1$ .

$2 y y' + 12$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 x^{2} + 4 y^{3} y' = 2 y y' + 12$

Etapa 1.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 1.5.1

Subtraia $2 y y'$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} + 4 y^{3} y' - 2 y y' = 12$

Etapa 1.5.2

Subtraia $3 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$4 y^{3} y' - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

Etapa 1.5.3

Fatore $2 y y'$ de $4 y^{3} y' - 2 y y'$ .

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Etapa 1.5.3.1

Fatore $2 y y'$ de $4 y^{3} y'$ .

$2 y y' (2 y^{2}) - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

Etapa 1.5.3.2

Fatore $2 y y'$ de $- 2 y y'$ .

$2 y y' (2 y^{2}) + 2 y y' \cdot - 1 = 12 - 3 x^{2}$

Etapa 1.5.3.3

Fatore $2 y y'$ de $2 y y' (2 y^{2}) + 2 y y' \cdot - 1$ .

$2 y y' (2 y^{2} - 1) = 12 - 3 x^{2}$

Etapa 1.5.4

Divida cada termo em $2 y y' (2 y^{2} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ por $2 y (2 y^{2} - 1)$ e simplifique.

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Etapa 1.5.4.1

Divida cada termo em $2 y y' (2 y^{2} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ por $2 y (2 y^{2} - 1)$ .

$\frac{2 y y' (2 y^{2} - 1)}{2 y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.5.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y y' (2 y^{2} - 1)}{2 y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y' (2 y^{2} - 1)}{y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Etapa 1.5.4.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y' (2 y^{2} - 1)}{y (2 y^{2} - 1)} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Etapa 1.5.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (2 y^{2} - 1)}{2 y^{2} - 1} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Etapa 1.5.4.2.3

Cancele o fator comum de $2 y^{2} - 1$ .

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Etapa 1.5.4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (2 y^{2} - 1)}{2 y^{2} - 1} = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Etapa 1.5.4.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{12}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Etapa 1.5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.5.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.4.3.1.1

Cancele o fator comum de $12$ e $2$ .

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Etapa 1.5.4.3.1.1.1

Fatore $2$ de $12$ .

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Etapa 1.5.4.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.5.4.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $2 y (2 y^{2} - 1)$ .

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (2 y^{2} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Etapa 1.5.4.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (2 y^{2} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Etapa 1.5.4.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Etapa 1.5.4.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Etapa 1.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Etapa 1.7

Avalie em $x = 0$ e $y = 1$ .

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Etapa 1.7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$\frac{6}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

Etapa 1.7.2

Substitua a variável $y$ por $1$ na expressão.

$\frac{6}{(1) (2 {(1)}^{2} - 1)} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Etapa 1.7.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.3.1

Multiplique $2 \cdot 1^{2} - 1$ por $1$ .

$\frac{6}{2 \cdot 1^{2} - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Etapa 1.7.3.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.7.3.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{6}{2 \cdot 1 - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Etapa 1.7.3.2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{6}{2 - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Etapa 1.7.3.2.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{6}{1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Etapa 1.7.3.3

Divida $6$ por $1$ .

$6 - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

Etapa 1.7.3.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$6 - \frac{3 \cdot 0}{2 (1) (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

Etapa 1.7.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$6 - \frac{3 \cdot 0}{2 (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

Etapa 1.7.3.6

Multiplique $3$ por $0$ .

$6 - \frac{0}{2 (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

Etapa 1.7.3.7

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.7.3.7.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$6 - \frac{0}{2 (2 \cdot 1 - 1)}$

Etapa 1.7.3.7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$6 - \frac{0}{2 (2 - 1)}$

Etapa 1.7.3.7.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$6 - \frac{0}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.7.3.8

Multiplique $2$ por $1$ .

$6 - \frac{0}{2}$

Etapa 1.7.3.9

Divida $0$ por $2$ .

$6 - 0$

Etapa 1.7.3.10

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$6 + 0$

Etapa 1.7.4

Some $6$ e $0$ .

$6$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $6$ e um ponto determinado $(0, 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 6 \cdot (x - (0))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 = 6 \cdot (x + 0)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Some $x$ e $0$ .

$y - 1 = 6 x$

Etapa 2.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = 6 x + 1$

Etapa 3