Cálculo Exemplos

$f (x) = 7 x - 4 x^{2}$ at $(- 3, - 57)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = - 3$ e $y = - 57$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x - 4 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $7$ por $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$7 - 4 (2 x)$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$7 - 8 x$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$- 8 x + 7$

Etapa 1.5

Avalie a derivada em $x = - 3$ .

$- 8 \cdot - 3 + 7$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Multiplique $- 8$ por $- 3$ .

$24 + 7$

Etapa 1.6.2

Some $24$ e $7$ .

$31$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $31$ e um ponto determinado $(- 3, - 57)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 57) = 31 \cdot (x - (- 3))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 57 = 31 \cdot (x + 3)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $31 \cdot (x + 3)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y + 57 = 0 + 0 + 31 \cdot (x + 3)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y + 57 = 31 \cdot (x + 3)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + 57 = 31 x + 31 \cdot 3$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $31$ por $3$ .

$y + 57 = 31 x + 93$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Subtraia $57$ dos dois lados da equação.

$y = 31 x + 93 - 57$

Etapa 2.3.2.2

Subtraia $57$ de $93$ .

$y = 31 x + 36$

Etapa 3