Cálculo Exemplos

$y = \frac{x^{2}}{8 + x}$ , $(1, \frac{1}{9})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = \frac{1}{9}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 8 + x$ .

$\frac{(8 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [8 + x]}{{(8 + x)}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(8 + x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [8 + x]}{{(8 + x)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $8 + x$ .

$\frac{2 \cdot (8 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [8 + x]}{{(8 + x)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (8 + x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x])}{{(8 + x)}^{2}}$

Etapa 1.2.4

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (8 + x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(8 + x)}^{2}}$

Etapa 1.2.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (8 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(8 + x)}^{2}}$

Etapa 1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (8 + x) x - x^{2} \cdot 1}{{(8 + x)}^{2}}$

Etapa 1.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (8 + x) x - x^{2}}{{(8 + x)}^{2}}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 \cdot 8 + 2 x) x - x^{2}}{{(8 + x)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cdot 8 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(8 + x)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.3.1.1

Multiplique $2$ por $8$ .

$\frac{16 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(8 + x)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{16 x + 2 (x \cdot x) - x^{2}}{{(8 + x)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{16 x + 2 x^{2} - x^{2}}{{(8 + x)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{16 x + x^{2}}{{(8 + x)}^{2}}$

Etapa 1.3.4

Reordene os termos.

$\frac{x^{2} + 16 x}{{(x + 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.5

Fatore $x$ de $x^{2} + 16 x$ .

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Etapa 1.3.5.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 16 x}{{(x + 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.5.2

Fatore $x$ de $16 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 16}{{(x + 8)}^{2}}$

Etapa 1.3.5.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 16$ .

$\frac{x (x + 16)}{{(x + 8)}^{2}}$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = 1$ .

$\frac{(1) ((1) + 16)}{{((1) + 8)}^{2}}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Multiplique $1 + 16$ por $1$ .

$\frac{1 + 16}{{(1 + 8)}^{2}}$

Etapa 1.5.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.5.2.1

Some $1$ e $8$ .

$\frac{1 + 16}{9^{2}}$

Etapa 1.5.2.2

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$\frac{1 + 16}{81}$

Etapa 1.5.3

Some $1$ e $16$ .

$\frac{17}{81}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{17}{81}$ e um ponto determinado $(1, \frac{1}{9})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{9}) = \frac{17}{81} \cdot (x - (1))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \frac{1}{9} = \frac{17}{81} \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{17}{81} \cdot (x - 1)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - \frac{1}{9} = 0 + 0 + \frac{17}{81} \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - \frac{1}{9} = \frac{17}{81} \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \frac{1}{9} = \frac{17}{81} x + \frac{17}{81} \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.4

Combine $\frac{17}{81}$ e $x$ .

$y - \frac{1}{9} = \frac{17 x}{81} + \frac{17}{81} \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $\frac{17}{81} \cdot - 1$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Combine $\frac{17}{81}$ e $- 1$ .

$y - \frac{1}{9} = \frac{17 x}{81} + \frac{17 \cdot - 1}{81}$

Etapa 2.3.1.5.2

Multiplique $17$ por $- 1$ .

$y - \frac{1}{9} = \frac{17 x}{81} + \frac{- 17}{81}$

Etapa 2.3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - \frac{1}{9} = \frac{17 x}{81} - \frac{17}{81}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $\frac{1}{9}$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{17 x}{81} - \frac{17}{81} + \frac{1}{9}$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $\frac{1}{9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{17 x}{81} - \frac{17}{81} + \frac{1}{9} \cdot \frac{9}{9}$

Etapa 2.3.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $81$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{9}$ por $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{17 x}{81} - \frac{17}{81} + \frac{9}{9 \cdot 9}$

Etapa 2.3.2.3.2

Multiplique $9$ por $9$ .

$y = \frac{17 x}{81} - \frac{17}{81} + \frac{9}{81}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{17 x}{81} + \frac{- 17 + 9}{81}$

Etapa 2.3.2.5

Some $- 17$ e $9$ .

$y = \frac{17 x}{81} + \frac{- 8}{81}$

Etapa 2.3.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{17 x}{81} - \frac{8}{81}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{17}{81} x - \frac{8}{81}$

Etapa 3