Cálculo Exemplos

$y = \cos (3 x)$ , $(\frac{π}{4}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = \frac{π}{4}$ e $y = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 \sin (3 x) \cdot 1$

Etapa 1.2.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 3 \sin (3 x)$

Etapa 1.3

Avalie a derivada em $x = \frac{π}{4}$ .

$- 3 \sin (3 (\frac{π}{4}))$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Combine $3$ e $\frac{π}{4}$ .

$- 3 \sin (\frac{3 π}{4})$

Etapa 1.4.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- 3 \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.4.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.4.4

Combine $- 3$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 3 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.4.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ e um ponto determinado $(\frac{π}{4}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 + 0 - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} x - \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$

Etapa 2.3.1.4

Combine $x$ e $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} - \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $- \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + 1 \frac{3 \sqrt{2}}{2} \frac{π}{4}$

Etapa 2.3.1.5.2

Multiplique $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{4}$

Etapa 2.3.1.5.3

Multiplique $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{π}{4}$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.1.5.4

Multiplique $2$ por $4$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x (3 \sqrt{2})}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Etapa 2.3.1.6

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Etapa 2.3.2

Subtraia $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dos dois lados da equação.

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para escrever $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 2.3.3.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.3.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.3.2.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{8}$

Etapa 2.3.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π - \sqrt{2} \cdot 4}{8}$

Etapa 2.3.3.4

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$y = - \frac{3 x \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{8}$

Etapa 2.3.3.5

Reordene os termos.

$y = - (\frac{3 \sqrt{2}}{2} x) + \frac{3 \sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{8}$

Etapa 2.3.3.6

Remova os parênteses.

$y = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} x + \frac{3 \sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{8}$

Etapa 3