Cálculo Exemplos

$y^{2} - x^{2} y - 6 x = 0$ , $(2, 6)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 2$ e $y = 6$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - x^{2} y - 6 x) = \frac{d}{d x} (0)$

Etapa 1.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} - x^{2} y - 6 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 1.2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

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Etapa 1.2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2} y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$2 y y' - \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$2 y y' - (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.2.3.5

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Etapa 1.2.4.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + 2 y x) - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + 2 y x) - 6 \cdot 1$

Etapa 1.2.4.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + 2 y x) - 6$

Etapa 1.2.5

Simplifique.

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Etapa 1.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y y' - (x^{2} y') - (2 y x) - 6$

Etapa 1.2.5.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 y y' - x^{2} y' - 2 y x - 6$

Etapa 1.2.5.3

Reordene os termos.

$2 y y' - x^{2} y' - 2 x y - 6$

Etapa 1.3

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 y y' - x^{2} y' - 2 x y - 6 = 0$

Etapa 1.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 1.5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.5.1.1

Some $2 x y$ aos dois lados da equação.

$2 y y' - x^{2} y' - 6 = 2 x y$

Etapa 1.5.1.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$2 y y' - x^{2} y' = 2 x y + 6$

Etapa 1.5.2

Fatore $y'$ de $2 y y' - x^{2} y'$ .

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Etapa 1.5.2.1

Fatore $y'$ de $2 y y'$ .

$y' (2 y) - x^{2} y' = 2 x y + 6$

Etapa 1.5.2.2

Fatore $y'$ de $- x^{2} y'$ .

$y' (2 y) + y' (- x^{2}) = 2 x y + 6$

Etapa 1.5.2.3

Fatore $y'$ de $y' (2 y) + y' (- x^{2})$ .

$y' (2 y - x^{2}) = 2 x y + 6$

Etapa 1.5.3

Divida cada termo em $y' (2 y - x^{2}) = 2 x y + 6$ por $2 y - x^{2}$ e simplifique.

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Etapa 1.5.3.1

Divida cada termo em $y' (2 y - x^{2}) = 2 x y + 6$ por $2 y - x^{2}$ .

$\frac{y' (2 y - x^{2})}{2 y - x^{2}} = \frac{2 x y}{2 y - x^{2}} + \frac{6}{2 y - x^{2}}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $2 y - x^{2}$ .

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Etapa 1.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (2 y - x^{2})}{2 y - x^{2}} = \frac{2 x y}{2 y - x^{2}} + \frac{6}{2 y - x^{2}}$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{2 y - x^{2}} + \frac{6}{2 y - x^{2}}$

Etapa 1.5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.5.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{2 x y + 6}{2 y - x^{2}}$

Etapa 1.5.3.3.2

Fatore $2$ de $2 x y + 6$ .

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Etapa 1.5.3.3.2.1

Fatore $2$ de $2 x y$ .

$y' = \frac{2 (x y) + 6}{2 y - x^{2}}$

Etapa 1.5.3.3.2.2

Fatore $2$ de $6$ .

$y' = \frac{2 (x y) + 2 \cdot 3}{2 y - x^{2}}$

Etapa 1.5.3.3.2.3

Fatore $2$ de $2 (x y) + 2 \cdot 3$ .

$y' = \frac{2 (x y + 3)}{2 y - x^{2}}$

Etapa 1.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (x y + 3)}{2 y - x^{2}}$

Etapa 1.7

Avalie em $x = 2$ e $y = 6$ .

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Etapa 1.7.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$\frac{2 ((2) \cdot y + 3)}{2 y - {(2)}^{2}}$

Etapa 1.7.2

Substitua a variável $y$ por $6$ na expressão.

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (6) - {(2)}^{2}}$

Etapa 1.7.3

Cancele o fator comum de $2$ e $2 (6) - {(2)}^{2}$ .

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Etapa 1.7.3.1

Reordene os termos.

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{- {(2)}^{2} + 2 \cdot 6}$

Etapa 1.7.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.7.3.2.1

Fatore $2$ de $- {(2)}^{2}$ .

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (- 1 \cdot 2) + 2 \cdot 6}$

Etapa 1.7.3.2.2

Fatore $2$ de $2 \cdot 6$ .

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (- 1 \cdot 2) + 2 (6)}$

Etapa 1.7.3.2.3

Fatore $2$ de $2 (- 1 \cdot 2) + 2 (6)$ .

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (- 1 \cdot 2 + 6)}$

Etapa 1.7.3.2.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (- 1 \cdot 2 + 6)}$

Etapa 1.7.3.2.5

Reescreva a expressão.

$\frac{(2) \cdot (6) + 3}{- 1 \cdot 2 + 6}$

Etapa 1.7.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.7.4.1

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{12 + 3}{- 1 \cdot 2 + 6}$

Etapa 1.7.4.2

Some $12$ e $3$ .

$\frac{15}{- 1 \cdot 2 + 6}$

Etapa 1.7.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.7.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{15}{- 2 + 6}$

Etapa 1.7.5.2

Some $- 2$ e $6$ .

$\frac{15}{4}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{15}{4}$ e um ponto determinado $(2, 6)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = \frac{15}{4} \cdot (x - (2))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 6 = \frac{15}{4} \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{15}{4} \cdot (x - 2)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 6 = 0 + 0 + \frac{15}{4} \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 6 = \frac{15}{4} \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 6 = \frac{15}{4} x + \frac{15}{4} \cdot - 2$

Etapa 2.3.1.4

Combine $\frac{15}{4}$ e $x$ .

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{4} \cdot - 2$

Etapa 2.3.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Fatore $2$ de $4$ .

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{2 (2)} \cdot - 2$

Etapa 2.3.1.5.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.5.3

Cancele o fator comum.

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.5.4

Reescreva a expressão.

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{2} \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.6

Combine $\frac{15}{2}$ e $- 1$ .

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15 \cdot - 1}{2}$

Etapa 2.3.1.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.1.7.1

Multiplique $15$ por $- 1$ .

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{- 15}{2}$

Etapa 2.3.1.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - 6 = \frac{15 x}{4} - \frac{15}{2}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $6$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{15 x}{4} - \frac{15}{2} + 6$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $6$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{4} - \frac{15}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 2.3.2.3

Combine $6$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{4} - \frac{15}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{15 x}{4} + \frac{- 15 + 6 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.5.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$y = \frac{15 x}{4} + \frac{- 15 + 12}{2}$

Etapa 2.3.2.5.2

Some $- 15$ e $12$ .

$y = \frac{15 x}{4} + \frac{- 3}{2}$

Etapa 2.3.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{15 x}{4} - \frac{3}{2}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{15}{4} x - \frac{3}{2}$

Etapa 3