Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{x - 5}$ ; $(4, - 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 4$ e $y = - 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Reescreva $\frac{1}{x - 5}$ como ${(x - 5)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{- 1}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x - 5$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 5]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 5$ .

$- {(x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$- {(x - 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- {(x - 5)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Etapa 1.3.3

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$- {(x - 5)}^{- 2} (1 + 0)$

Etapa 1.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$- {(x - 5)}^{- 2} \cdot 1$

Etapa 1.3.4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- {(x - 5)}^{- 2}$

Etapa 1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.5

Avalie a derivada em $x = 4$ .

$- \frac{1}{{((4) - 5)}^{2}}$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.6.1.1

Subtraia $5$ de $4$ .

$- \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 1.6.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- \frac{1}{1}$

Etapa 1.6.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 1.6.2.1

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 1.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{1}$

Etapa 1.6.2.1.2

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot 1$

Etapa 1.6.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- 1$ e um ponto determinado $(4, - 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = - 1 \cdot (x - (4))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 1 = - 1 \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- 1 \cdot (x - 4)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y + 1 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y + 1 = - 1 \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + 1 = - 1 x - 1 \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.1.4.1

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y + 1 = - x - 1 \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$y + 1 = - x + 4$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = - x + 4 - 1$

Etapa 2.3.2.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$y = - x + 3$

Etapa 3