Cálculo Exemplos

$y = x^{4} + 2 e^{x}$ , $(0, 2)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 0$ e $y = 2$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 2 e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 e^{x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$4 x^{3} + 2 e^{x}$

Etapa 1.3

Avalie a derivada em $x = 0$ .

$4 {(0)}^{3} + 2 e^{0}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 \cdot 0 + 2 e^{0}$

Etapa 1.4.1.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$0 + 2 e^{0}$

Etapa 1.4.1.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Etapa 1.4.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$0 + 2$

Etapa 1.4.2

Some $0$ e $2$ .

$2$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $2$ e um ponto determinado $(0, 2)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 2 \cdot (x - (0))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 2 = 2 \cdot (x + 0)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Some $x$ e $0$ .

$y - 2 = 2 x$

Etapa 2.3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = 2 x + 2$

Etapa 3