Cálculo Exemplos

$f (x) = {(5 x + 1)}^{2}$ ;, $(0, 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 0$ e $y = 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(5 x + 1)}^{2}$ como $(5 x + 1) (5 x + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(5 x + 1) (5 x + 1)]$

Etapa 1.2

Expanda $(5 x + 1) (5 x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x + 1) + 1 (5 x + 1)]$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x) + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x + 1)]$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x) + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Etapa 1.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $5$ por $5$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Etapa 1.3.1.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Etapa 1.3.1.5

Multiplique $5 x$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x + 5 x + 1 \cdot 1]$

Etapa 1.3.1.6

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x + 5 x + 1]$

Etapa 1.3.2

Some $5 x$ e $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 10 x + 1]$

Etapa 1.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $25 x^{2} + 10 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.5

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25 x^{2}$ em relação a $x$ é $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$25 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.7

Multiplique $2$ por $25$ .

$50 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.8

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$50 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$50 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.10

Multiplique $10$ por $1$ .

$50 x + 10 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.11

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$50 x + 10 + 0$

Etapa 1.12

Some $50 x + 10$ e $0$ .

$50 x + 10$

Etapa 1.13

Avalie a derivada em $x = 0$ .

$50 (0) + 10$

Etapa 1.14

Simplifique.

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Etapa 1.14.1

Multiplique $50$ por $0$ .

$0 + 10$

Etapa 1.14.2

Some $0$ e $10$ .

$10$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $10$ e um ponto determinado $(0, 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 10 \cdot (x - (0))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 = 10 \cdot (x + 0)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Some $x$ e $0$ .

$y - 1 = 10 x$

Etapa 2.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = 10 x + 1$

Etapa 3