Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{2 + x^{3}}$ , $(- 1, 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = - 1$ e $y = 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 + x^{3}}$ como ${(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 2 + x^{3}$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 + x^{3}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + x^{3}]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 + x^{3}$ .

$\frac{1}{2} {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + x^{3}]$

Etapa 1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x^{3}]$

Etapa 1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x^{3}]$

Etapa 1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(2 + x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x^{3}]$

Etapa 1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 + x^{3})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x^{3}]$

Etapa 1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 + x^{3})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x^{3}]$

Etapa 1.7

Combine frações.

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Etapa 1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(2 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x^{3}]$

Etapa 1.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(2 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 + x^{3}]$

Etapa 1.7.3

Mova ${(2 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 + x^{3}]$

Etapa 1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.9

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.10

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2})$

Etapa 1.12

Combine frações.

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Etapa 1.12.1

Combine $3$ e $\frac{1}{2 {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} x^{2}$

Etapa 1.12.2

Combine $\frac{3}{2 {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.13

Avalie a derivada em $x = - 1$ .

$\frac{3 {(- 1)}^{2}}{2 {(2 + {(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.14

Simplifique.

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Etapa 1.14.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 {(2 + {(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.14.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.14.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 {(2 - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.14.2.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.14.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.14.3

Simplifique.

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Etapa 1.14.3.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{3}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.14.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{3}{2}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{3}{2}$ e um ponto determinado $(- 1, 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = \frac{3}{2} \cdot (x - (- 1))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 = \frac{3}{2} \cdot (x + 1)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{3}{2} \cdot (x + 1)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{3}{2} \cdot (x + 1)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 1 = \frac{3}{2} \cdot (x + 1)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 1 = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot 1$

Etapa 2.3.1.4

Combine $\frac{3}{2}$ e $x$ .

$y - 1 = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot 1$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$y - 1 = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} + 1$

Etapa 2.3.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} + \frac{2}{2}$

Etapa 2.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3 + 2}{2}$

Etapa 2.3.2.4

Some $3$ e $2$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{5}{2}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{5}{2}$

Etapa 3