Cálculo Exemplos

$y = 8 x \sin (x)$ , $(\frac{π}{2}, 4 π)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = \frac{π}{2}$ e $y = 4 π$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x \sin (x)$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$8 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

Etapa 1.4.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$8 (x \cos (x) + \sin (x))$

Etapa 1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$8 x \cos (x) + 8 \sin (x)$

Etapa 1.6

Avalie a derivada em $x = \frac{π}{2}$ .

$8 (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2}) + 8 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 1.7

Simplifique.

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Etapa 1.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.7.1.1.1

Fatore $2$ de $8$ .

$2 (4) \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2}) + 8 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 1.7.1.1.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 4 \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2}) + 8 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 1.7.1.1.3

Reescreva a expressão.

$4 π \cos (\frac{π}{2}) + 8 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 1.7.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$4 π \cdot 0 + 8 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 1.7.1.3

Multiplique $4 π \cdot 0$ .

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Etapa 1.7.1.3.1

Multiplique $0$ por $4$ .

$0 π + 8 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 1.7.1.3.2

Multiplique $0$ por $π$ .

$0 + 8 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 1.7.1.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$0 + 8 \cdot 1$

Etapa 1.7.1.5

Multiplique $8$ por $1$ .

$0 + 8$

Etapa 1.7.2

Some $0$ e $8$ .

$8$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $8$ e um ponto determinado $(\frac{π}{2}, 4 π)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4 π) = 8 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 4 π = 8 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $8 \cdot (x - \frac{π}{2})$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 4 π = 0 + 0 + 8 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 4 π = 8 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 4 π = 8 x + 8 (- \frac{π}{2})$

Etapa 2.3.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{2}$ para o numerador.

$y - 4 π = 8 x + 8 \frac{- π}{2}$

Etapa 2.3.1.4.2

Fatore $2$ de $8$ .

$y - 4 π = 8 x + 2 (4) \frac{- π}{2}$

Etapa 2.3.1.4.3

Cancele o fator comum.

$y - 4 π = 8 x + 2 \cdot 4 \frac{- π}{2}$

Etapa 2.3.1.4.4

Reescreva a expressão.

$y - 4 π = 8 x + 4 (- π)$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$y - 4 π = 8 x - 4 π$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $4 π$ aos dois lados da equação.

$y = 8 x - 4 π + 4 π$

Etapa 2.3.2.2

Combine os termos opostos em $8 x - 4 π + 4 π$ .

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Etapa 2.3.2.2.1

Some $- 4 π$ e $4 π$ .

$y = 8 x + 0$

Etapa 2.3.2.2.2

Some $8 x$ e $0$ .

$y = 8 x$

Etapa 3