Cálculo Exemplos

$x^{2} + 2 x y - y^{2} + x = 20$ , $(3, 4)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 3$ e $y = 4$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x y - y^{2} + x) = \frac{d}{d x} (20)$

Etapa 1.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x y - y^{2} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 x + 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.2.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Etapa 1.2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 1.2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 y y') + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.3.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - 2 y y' + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - 2 y y' + 1$

Etapa 1.2.5

Simplifique.

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Etapa 1.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x + 2 (x y') + 2 y - 2 y y' + 1$

Etapa 1.2.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 x + 2 x y' + 2 y - 2 y y' + 1$

Etapa 1.2.5.3

Reordene os termos.

$2 x y' - 2 y y' + 2 x + 2 y + 1$

Etapa 1.3

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 x y' - 2 y y' + 2 x + 2 y + 1 = 0$

Etapa 1.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 1.5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.5.1.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$2 x y' - 2 y y' + 2 y + 1 = - 2 x$

Etapa 1.5.1.2

Subtraia $2 y$ dos dois lados da equação.

$2 x y' - 2 y y' + 1 = - 2 x - 2 y$

Etapa 1.5.1.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x y' - 2 y y' = - 2 x - 2 y - 1$

Etapa 1.5.2

Fatore $2 y'$ de $2 x y' - 2 y y'$ .

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Etapa 1.5.2.1

Fatore $2 y'$ de $2 x y'$ .

$2 y' x - 2 y y' = - 2 x - 2 y - 1$

Etapa 1.5.2.2

Fatore $2 y'$ de $- 2 y y'$ .

$2 y' x + 2 y' (- y) = - 2 x - 2 y - 1$

Etapa 1.5.2.3

Fatore $2 y'$ de $2 y' x + 2 y' (- y)$ .

$2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y - 1$

Etapa 1.5.3

Divida cada termo em $2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y - 1$ por $2 (x - y)$ e simplifique.

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Etapa 1.5.3.1

Divida cada termo em $2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y - 1$ por $2 (x - y)$ .

$\frac{2 y' (x - y)}{2 (x - y)} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y' (x - y)}{2 (x - y)} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Etapa 1.5.3.2.2

Cancele o fator comum de $x - y$ .

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Etapa 1.5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Etapa 1.5.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Etapa 1.5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.5.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.3.1.1.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Etapa 1.5.3.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Etapa 1.5.3.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- x}{x - y} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Etapa 1.5.3.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Etapa 1.5.3.3.1.3

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.3.1.3.1

Fatore $2$ de $- 2 y$ .

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{2 (- y)}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Etapa 1.5.3.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.3.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{2 (- y)}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Etapa 1.5.3.3.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{- y}{x - y} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Etapa 1.5.3.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{x}{x - y} - \frac{y}{x - y} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Etapa 1.5.3.3.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{x}{x - y} - \frac{y}{x - y} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Etapa 1.5.3.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- x - y}{x - y} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Etapa 1.5.3.3.3

Para escrever $\frac{- x - y}{x - y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{- x - y}{x - y} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Etapa 1.5.3.3.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x - y) \cdot 2$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.5.3.3.4.1

Multiplique $\frac{- x - y}{x - y}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{(- x - y) \cdot 2}{(x - y) \cdot 2} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Etapa 1.5.3.3.4.2

Reordene os fatores de $(x - y) \cdot 2$ .

$y' = \frac{(- x - y) \cdot 2}{2 (x - y)} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Etapa 1.5.3.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{(- x - y) \cdot 2 - 1}{2 (x - y)}$

Etapa 1.5.3.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.5.3.3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y' = \frac{- x \cdot 2 - y \cdot 2 - 1}{2 (x - y)}$

Etapa 1.5.3.3.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y' = \frac{- 2 x - y \cdot 2 - 1}{2 (x - y)}$

Etapa 1.5.3.3.6.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y' = \frac{- 2 x - 2 y - 1}{2 (x - y)}$

Etapa 1.5.3.3.7

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.3.7.1

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 2 y - 1}{2 (x - y)}$

Etapa 1.5.3.3.7.2

Fatore $- 1$ de $- 2 y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (2 y) - 1}{2 (x - y)}$

Etapa 1.5.3.3.7.3

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 2 y) - 1}{2 (x - y)}$

Etapa 1.5.3.3.7.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 2 y) - 1 (1)}{2 (x - y)}$

Etapa 1.5.3.3.7.5

Fatore $- 1$ de $- (2 x + 2 y) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 2 y + 1)}{2 (x - y)}$

Etapa 1.5.3.3.7.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.5.3.3.7.6.1

Reescreva $- (2 x + 2 y + 1)$ como $- 1 (2 x + 2 y + 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + 2 y + 1)}{2 (x - y)}$

Etapa 1.5.3.3.7.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 x + 2 y + 1}{2 (x - y)}$

Etapa 1.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + 2 y + 1}{2 (x - y)}$

Etapa 1.7

Avalie em $x = 3$ e $y = 4$ .

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Etapa 1.7.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$- \frac{2 (3) + 2 y + 1}{2 ((3) - y)}$

Etapa 1.7.2

Substitua a variável $y$ por $4$ na expressão.

$- \frac{2 (3) + 2 (4) + 1}{2 ((3) - (4))}$

Etapa 1.7.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.3.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$- \frac{6 + 2 (4) + 1}{2 (3 - (4))}$

Etapa 1.7.3.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$- \frac{6 + 8 + 1}{2 (3 - (4))}$

Etapa 1.7.3.3

Some $6$ e $8$ .

$- \frac{14 + 1}{2 (3 - (4))}$

Etapa 1.7.3.4

Some $14$ e $1$ .

$- \frac{15}{2 (3 - (4))}$

Etapa 1.7.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.7.4.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- \frac{15}{2 (3 - 4)}$

Etapa 1.7.4.2

Subtraia $4$ de $3$ .

$- \frac{15}{2 \cdot - 1}$

Etapa 1.7.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.7.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{15}{- 2}$

Etapa 1.7.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{15}{2}$

Etapa 1.7.6

Multiplique $- - \frac{15}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{15}{2})$

Etapa 1.7.6.2

Multiplique $\frac{15}{2}$ por $1$ .

$\frac{15}{2}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{15}{2}$ e um ponto determinado $(3, 4)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = \frac{15}{2} \cdot (x - (3))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 4 = \frac{15}{2} \cdot (x - 3)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{15}{2} \cdot (x - 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{15}{2} \cdot (x - 3)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 4 = \frac{15}{2} \cdot (x - 3)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 4 = \frac{15}{2} x + \frac{15}{2} \cdot - 3$

Etapa 2.3.1.4

Combine $\frac{15}{2}$ e $x$ .

$y - 4 = \frac{15 x}{2} + \frac{15}{2} \cdot - 3$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $\frac{15}{2} \cdot - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.5.1

Combine $\frac{15}{2}$ e $- 3$ .

$y - 4 = \frac{15 x}{2} + \frac{15 \cdot - 3}{2}$

Etapa 2.3.1.5.2

Multiplique $15$ por $- 3$ .

$y - 4 = \frac{15 x}{2} + \frac{- 45}{2}$

Etapa 2.3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - 4 = \frac{15 x}{2} - \frac{45}{2}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{15 x}{2} - \frac{45}{2} + 4$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{2} - \frac{45}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 2.3.2.3

Combine $4$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{2} - \frac{45}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{- 45 + 4 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.3.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.5.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{- 45 + 8}{2}$

Etapa 2.3.2.5.2

Some $- 45$ e $8$ .

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{- 37}{2}$

Etapa 2.3.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{15 x}{2} - \frac{37}{2}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{15}{2} x - \frac{37}{2}$

Etapa 3