Cálculo Exemplos

$f (x) = x \sin (10 x)$ at $x = π$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = π$ .

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Etapa 1.1

Substitua $π$ por $x$ .

$y = (π) \sin (10 (π))$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Multiplique $10$ por $π$ .

$y = π \sin (10 π)$

Etapa 1.2.2

Remova os parênteses.

$y = (π) \sin (10 (π))$

Etapa 1.2.3

Simplifique $(π) \sin (10 (π))$ .

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Etapa 1.2.3.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$y = π \sin (0)$

Etapa 1.2.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$y = π \cdot 0$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $π$ por $0$ .

$y = 0$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = π$ e $y = 0$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (10 x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (10 x)] + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 10 x$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $10 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [10 x]) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [10 x]) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $10 x$ .

$x (\cos (10 x) \frac{d}{d x} [10 x]) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (\cos (10 x) (10 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (\cos (10 x) (10 \cdot 1)) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.3.1

Multiplique $10$ por $1$ .

$x (\cos (10 x) \cdot 10) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.3.2

Mova $10$ para a esquerda de $\cos (10 x)$ .

$x (10 \cdot \cos (10 x)) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (10 \cos (10 x)) + \sin (10 x) \cdot 1$

Etapa 2.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.5.1

Multiplique $\sin (10 x)$ por $1$ .

$x (10 \cos (10 x)) + \sin (10 x)$

Etapa 2.3.5.2

Reordene os termos.

$10 x \cos (10 x) + \sin (10 x)$

Etapa 2.4

Avalie a derivada em $x = π$ .

$10 (π) \cos (10 (π)) + \sin (10 (π))$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.1.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$10 π \cos (0) + \sin (10 (π))$

Etapa 2.5.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$10 π \cdot 1 + \sin (10 (π))$

Etapa 2.5.1.3

Multiplique $10$ por $1$ .

$10 π + \sin (10 (π))$

Etapa 2.5.1.4

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$10 π + \sin (0)$

Etapa 2.5.1.5

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$10 π + 0$

Etapa 2.5.2

Some $10 π$ e $0$ .

$10 π$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $10 π$ e um ponto determinado $(π, 0)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 10 π \cdot (x - (π))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 0 = 10 π \cdot (x - π)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Some $y$ e $0$ .

$y = 10 π \cdot (x - π)$

Etapa 3.3.2

Simplifique $10 π \cdot (x - π)$ .

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Etapa 3.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 10 π x + 10 π (- π)$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $10 π (- π)$ .

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Etapa 3.3.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$y = 10 π x - 10 π π$

Etapa 3.3.2.2.2

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$y = 10 π x - 10 (π^{1} π)$

Etapa 3.3.2.2.3

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$y = 10 π x - 10 (π^{1} π^{1})$

Etapa 3.3.2.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = 10 π x - 10 π^{1 + 1}$

Etapa 3.3.2.2.5

Some $1$ e $1$ .

$y = 10 π x - 10 π^{2}$

Etapa 4