Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{4}{x}$ at $(8, \frac{1}{2})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 8$ e $y = \frac{1}{2}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4}{x}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$4 (- x^{- 2})$

Etapa 1.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 x^{- 2}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.5.2

Combine os termos.

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Etapa 1.5.2.1

Combine $- 4$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 4}{x^{2}}$

Etapa 1.5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{x^{2}}$

Etapa 1.6

Avalie a derivada em $x = 8$ .

$- \frac{4}{{(8)}^{2}}$

Etapa 1.7

Simplifique.

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Etapa 1.7.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$- \frac{4}{64}$

Etapa 1.7.2

Cancele o fator comum de $4$ e $64$ .

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Etapa 1.7.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$- \frac{4 (1)}{64}$

Etapa 1.7.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.7.2.2.1

Fatore $4$ de $64$ .

$- \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 16}$

Etapa 1.7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 16}$

Etapa 1.7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{16}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- \frac{1}{16}$ e um ponto determinado $(8, \frac{1}{2})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{16} \cdot (x - (8))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{16} \cdot (x - 8)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- \frac{1}{16} \cdot (x - 8)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 - \frac{1}{16} \cdot (x - 8)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{16} \cdot (x - 8)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{16} x - \frac{1}{16} \cdot - 8$

Etapa 2.3.1.4

Combine $x$ e $\frac{1}{16}$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} \cdot - 8$

Etapa 2.3.1.5

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{16}$ para o numerador.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{16} + \frac{- 1}{16} \cdot - 8$

Etapa 2.3.1.5.2

Fatore $8$ de $16$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{16} + \frac{- 1}{8 (2)} \cdot - 8$

Etapa 2.3.1.5.3

Fatore $8$ de $- 8$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{16} + \frac{- 1}{8 \cdot 2} \cdot (8 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.5.4

Cancele o fator comum.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{16} + \frac{- 1}{8 \cdot 2} \cdot (8 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.5.5

Reescreva a expressão.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{16} + \frac{- 1}{2} \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.6

Combine $\frac{- 1}{2}$ e $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{16} + \frac{- - 1}{2}$

Etapa 2.3.1.7

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{16} + \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $\frac{1}{2}$ aos dois lados da equação.

$y = - \frac{x}{16} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{- x}{16} + \frac{1 + 1}{2}$

Etapa 2.3.2.3

Some $1$ e $1$ .

$y = \frac{- x}{16} + \frac{2}{2}$

Etapa 2.3.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.2.4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{x}{16} + \frac{2}{2}$

Etapa 2.3.2.4.2

Divida $2$ por $2$ .

$y = - \frac{x}{16} + 1$

Etapa 2.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.3.3.1

Reordene os termos.

$y = - (\frac{1}{16} x) + 1$

Etapa 2.3.3.2

Remova os parênteses.

$y = - \frac{1}{16} x + 1$

Etapa 3