Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{4}{x}$ at $(9, \frac{4}{9})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 9$ e $y = \frac{4}{9}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4}{x}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$4 (- x^{- 2})$

Etapa 1.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 x^{- 2}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.5.2

Combine os termos.

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Etapa 1.5.2.1

Combine $- 4$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 4}{x^{2}}$

Etapa 1.5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{x^{2}}$

Etapa 1.6

Avalie a derivada em $x = 9$ .

$- \frac{4}{{(9)}^{2}}$

Etapa 1.7

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$- \frac{4}{81}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- \frac{4}{81}$ e um ponto determinado $(9, \frac{4}{9})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{4}{9}) = - \frac{4}{81} \cdot (x - (9))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \frac{4}{9} = - \frac{4}{81} \cdot (x - 9)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- \frac{4}{81} \cdot (x - 9)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - \frac{4}{9} = 0 + 0 - \frac{4}{81} \cdot (x - 9)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \frac{4}{9} = - \frac{4}{81} x - \frac{4}{81} \cdot - 9$

Etapa 2.3.1.2.2

Combine $x$ e $\frac{4}{81}$ .

$y - \frac{4}{9} = - \frac{x \cdot 4}{81} - \frac{4}{81} \cdot - 9$

Etapa 2.3.1.2.3

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 2.3.1.2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{4}{81}$ para o numerador.

$y - \frac{4}{9} = - \frac{x \cdot 4}{81} + \frac{- 4}{81} \cdot - 9$

Etapa 2.3.1.2.3.2

Fatore $9$ de $81$ .

$y - \frac{4}{9} = - \frac{x \cdot 4}{81} + \frac{- 4}{9 (9)} \cdot - 9$

Etapa 2.3.1.2.3.3

Fatore $9$ de $- 9$ .

$y - \frac{4}{9} = - \frac{x \cdot 4}{81} + \frac{- 4}{9 \cdot 9} \cdot (9 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.2.3.4

Cancele o fator comum.

$y - \frac{4}{9} = - \frac{x \cdot 4}{81} + \frac{- 4}{9 \cdot 9} \cdot (9 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.2.3.5

Reescreva a expressão.

$y - \frac{4}{9} = - \frac{x \cdot 4}{81} + \frac{- 4}{9} \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.2.4

Combine $\frac{- 4}{9}$ e $- 1$ .

$y - \frac{4}{9} = - \frac{x \cdot 4}{81} + \frac{- 4 \cdot - 1}{9}$

Etapa 2.3.1.2.5

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$y - \frac{4}{9} = - \frac{x \cdot 4}{81} + \frac{4}{9}$

Etapa 2.3.1.3

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$y - \frac{4}{9} = - \frac{4 x}{81} + \frac{4}{9}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $\frac{4}{9}$ aos dois lados da equação.

$y = - \frac{4 x}{81} + \frac{4}{9} + \frac{4}{9}$

Etapa 2.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{- 4 x}{81} + \frac{4 + 4}{9}$

Etapa 2.3.2.3

Some $4$ e $4$ .

$y = \frac{- 4 x}{81} + \frac{8}{9}$

Etapa 2.3.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{4 x}{81} + \frac{8}{9}$

Etapa 2.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.3.3.1

Reordene os termos.

$y = - (\frac{4}{81} x) + \frac{8}{9}$

Etapa 2.3.3.2

Remova os parênteses.

$y = - \frac{4}{81} x + \frac{8}{9}$

Etapa 3