Cálculo Exemplos

$f (x) = (- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 x + 3)$ , $x = 0$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = 0$ .

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Etapa 1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$y = (- 5 {(0)}^{2} + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = (- 5 \cdot 0^{2} + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Etapa 1.2.2

Remova os parênteses.

$y = (- 5 {(0)}^{2} + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Etapa 1.2.3

Simplifique $(- 5 {(0)}^{2} + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$ .

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Etapa 1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.3.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = (- 5 \cdot 0 + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Etapa 1.2.3.1.2

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$y = (0 + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Etapa 1.2.3.1.3

Multiplique $5$ por $0$ .

$y = (0 + 0 - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.3.2.1

Some $0$ e $0$ .

$y = (0 - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Etapa 1.2.3.2.2

Subtraia $2$ de $0$ .

$y = - 2 (- 2 \cdot 0 + 3)$

Etapa 1.2.3.2.3

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$y = - 2 (0 + 3)$

Etapa 1.2.3.2.4

Some $0$ e $3$ .

$y = - 2 \cdot 3$

Etapa 1.2.3.2.5

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$y = - 6$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 0$ e $y = - 6$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 5 x^{2} + 5 x - 2$ e $g (x) = - 2 x + 3$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) \frac{d}{d x} [- 2 x + 3] + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Etapa 2.2.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Etapa 2.2.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 + \frac{d}{d x} [3]) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Etapa 2.2.5

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 + 0) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Etapa 2.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.6.1

Some $- 2$ e $0$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) \cdot - 2 + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Etapa 2.2.6.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $- 5 x^{2} + 5 x - 2$ .

$- 2 \cdot (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Etapa 2.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 5 x^{2} + 5 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 2.2.8

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 2.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 2.2.10

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 2.2.11

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 2.2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 2.2.13

Multiplique $5$ por $1$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Etapa 2.2.14

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5 + 0)$

Etapa 2.2.15

Some $- 10 x + 5$ e $0$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5)$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 (- 5 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5)$

Etapa 2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 (- 5 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 + (- 2 x + 3) (- 10 x) + (- 2 x + 3) \cdot 5$

Etapa 2.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 (- 5 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) + (- 2 x + 3) \cdot 5$

Etapa 2.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 (- 5 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Etapa 2.3.5

Combine os termos.

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Etapa 2.3.5.1

Multiplique $- 5$ por $- 2$ .

$10 x^{2} - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $5$ por $- 2$ .

$10 x^{2} - 10 x - 2 \cdot - 2 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Etapa 2.3.5.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Etapa 2.3.5.4

Multiplique $- 10$ por $- 2$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x \cdot x + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Etapa 2.3.5.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 (x^{1} x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Etapa 2.3.5.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 (x^{1} x^{1}) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Etapa 2.3.5.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{1 + 1} + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Etapa 2.3.5.8

Some $1$ e $1$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Etapa 2.3.5.9

Multiplique $- 10$ por $3$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} - 30 x - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Etapa 2.3.5.10

Multiplique $5$ por $- 2$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} - 30 x - 10 x + 3 \cdot 5$

Etapa 2.3.5.11

Multiplique $3$ por $5$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} - 30 x - 10 x + 15$

Etapa 2.3.5.12

Subtraia $10 x$ de $- 30 x$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} - 40 x + 15$

Etapa 2.3.5.13

Some $10 x^{2}$ e $20 x^{2}$ .

$30 x^{2} - 10 x + 4 - 40 x + 15$

Etapa 2.3.5.14

Subtraia $40 x$ de $- 10 x$ .

$30 x^{2} - 50 x + 4 + 15$

Etapa 2.3.5.15

Some $4$ e $15$ .

$30 x^{2} - 50 x + 19$

Etapa 2.4

Avalie a derivada em $x = 0$ .

$30 {(0)}^{2} - 50 \cdot 0 + 19$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$30 \cdot 0 - 50 \cdot 0 + 19$

Etapa 2.5.1.2

Multiplique $30$ por $0$ .

$0 - 50 \cdot 0 + 19$

Etapa 2.5.1.3

Multiplique $- 50$ por $0$ .

$0 + 0 + 19$

Etapa 2.5.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 2.5.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 19$

Etapa 2.5.2.2

Some $0$ e $19$ .

$19$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $19$ e um ponto determinado $(0, - 6)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 6) = 19 \cdot (x - (0))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 6 = 19 \cdot (x + 0)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Some $x$ e $0$ .

$y + 6 = 19 x$

Etapa 3.3.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$y = 19 x - 6$

Etapa 4