Cálculo Exemplos

$y = \frac{6}{(1 + e^{- x})}$ , $(0, 3)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 0$ e $y = 3$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{6}{1 + e^{- x}}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{- x}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{- x}}]$

Etapa 1.1.2

Reescreva $\frac{1}{1 + e^{- x}}$ como ${(1 + e^{- x})}^{- 1}$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(1 + e^{- x})}^{- 1}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 1 + e^{- x}$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $1 + e^{- x}$ .

$6 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$6 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 + e^{- x}$ .

$6 (- {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$- 6 ({(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Etapa 1.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Etapa 1.3.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 1.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- x$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- x$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.5

Diferencie.

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Etapa 1.5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.5.2

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \cdot 1)$

Etapa 1.5.4

Multiplique $e^{- x}$ por $1$ .

$6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Reordene os fatores de $6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$ .

$6 e^{- x} {(1 + e^{- x})}^{- 2}$

Etapa 1.6.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 e^{- x} \frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 1.6.3

Multiplique $6 e^{- x} \frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ .

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Etapa 1.6.3.1

Combine $\frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ e $6$ .

$\frac{6}{{(1 + e^{- x})}^{2}} e^{- x}$

Etapa 1.6.3.2

Combine $\frac{6}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ e $e^{- x}$ .

$\frac{6 e^{- x}}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 1.7

Avalie a derivada em $x = 0$ .

$\frac{6 e^{- (0)}}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

Etapa 1.8

Simplifique.

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Etapa 1.8.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.8.1.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{6 e^{0}}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

Etapa 1.8.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{6 \cdot 1}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

Etapa 1.8.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.8.2.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{6 \cdot 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

Etapa 1.8.2.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{6 \cdot 1}{{(1 + 1)}^{2}}$

Etapa 1.8.2.3

Some $1$ e $1$ .

$\frac{6 \cdot 1}{2^{2}}$

Etapa 1.8.2.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{6 \cdot 1}{4}$

Etapa 1.8.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 1.8.3.1

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{6}{4}$

Etapa 1.8.3.2

Cancele o fator comum de $6$ e $4$ .

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Etapa 1.8.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 (3)}{4}$

Etapa 1.8.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.8.3.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.8.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.8.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{2}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{3}{2}$ e um ponto determinado $(0, 3)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{3}{2} \cdot (x - (0))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 3 = \frac{3}{2} \cdot (x + 0)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{3}{2} \cdot (x + 0)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Some $x$ e $0$ .

$y - 3 = \frac{3}{2} \cdot x$

Etapa 2.3.1.2

Combine $\frac{3}{2}$ e $x$ .

$y - 3 = \frac{3 x}{2}$

Etapa 2.3.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{3 x}{2} + 3$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{3}{2} x + 3$

Etapa 3