Cálculo Exemplos

$f (x) = e^{x^{3} - 1}$ at $x = 1$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = 1$ .

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Etapa 1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$y = e^{{(1)}^{3} - 1}$

Etapa 1.2

Simplifique $e^{{(1)}^{3} - 1}$ .

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Etapa 1.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = e^{1 - 1}$

Etapa 1.2.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$y = e^{0}$

Etapa 1.2.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$y = 1$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{3} - 1$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3} - 1$ .

$e^{x^{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{x^{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$e^{x^{3} - 1} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{x^{3} - 1} (3 x^{2} + 0)$

Etapa 2.2.4

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$e^{x^{3} - 1} (3 x^{2})$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Reordene os fatores de $e^{x^{3} - 1} (3 x^{2})$ .

$3 e^{x^{3} - 1} x^{2}$

Etapa 2.3.2

Reordene os fatores em $3 e^{x^{3} - 1} x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3} - 1}$

Etapa 2.4

Avalie a derivada em $x = 1$ .

$3 {(1)}^{2} e^{{(1)}^{3} - 1}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 \cdot 1 e^{{(1)}^{3} - 1}$

Etapa 2.5.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 e^{{(1)}^{3} - 1}$

Etapa 2.5.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 e^{1 - 1}$

Etapa 2.5.4

Subtraia $1$ de $1$ .

$3 e^{0}$

Etapa 2.5.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 2.5.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $3$ e um ponto determinado $(1, 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 3 \cdot (x - (1))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 = 3 \cdot (x - 1)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $3 \cdot (x - 1)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - 1 = 0 + 0 + 3 \cdot (x - 1)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 1 = 3 \cdot (x - 1)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 1 = 3 x + 3 \cdot - 1$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$y - 1 = 3 x - 3$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = 3 x - 3 + 1$

Etapa 3.3.2.2

Some $- 3$ e $1$ .

$y = 3 x - 2$

Etapa 4