Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{2} x \ln (x^{2})$ , $(- 1, 0)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = - 1$ e $y = 0$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1.1

Combine $x$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} \cdot \ln (x^{2})]$

Etapa 1.1.2

Combine $\frac{x}{2}$ e $\ln (x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x^{2})}{2}]$

Etapa 1.1.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x \ln (x^{2})}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{2})]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{2})]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x^{2})$ .

$\frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.4.1

Combine $\frac{1}{x^{2}}$ e $x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 1.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{1}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.2.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.4.2.3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.2.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.2.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x} (2 x) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.4

Simplifique os termos.

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Etapa 1.4.4.1

Combine $2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{x} x + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.4.2

Combine $\frac{2}{x}$ e $x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.4.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.4.4.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.4.3.2

Divida $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (2 + \ln (x^{2}) \cdot 1)$

Etapa 1.4.6

Multiplique $\ln (x^{2})$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (2 + \ln (x^{2}))$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

Etapa 1.5.2

Combine os termos.

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Etapa 1.5.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

Etapa 1.5.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

Etapa 1.5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

Etapa 1.5.3

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} \ln (x^{2}) + 1$

Etapa 1.5.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.4.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (x^{2})$ .

$\frac{\ln (x^{2})}{2} + 1$

Etapa 1.5.4.2

Expanda $\ln (x^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$\frac{2 \ln (x)}{2} + 1$

Etapa 1.5.4.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.5.4.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \ln (x)}{2} + 1$

Etapa 1.5.4.3.2

Divida $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) + 1$

Etapa 1.6

Avalie a derivada em $x = - 1$ .

$\ln (- 1) + 1$

Etapa 1.7

O logaritmo natural de um número negativo é indefinido.

Indefinido

Etapa 2

A inclinação da linha é indefinida, o que significa que é perpendicular ao eixo x em $x = - 1$ .

$x = - 1$

Etapa 3