Cálculo Exemplos

$x^{2} - y^{2} - 3 x - 19 = 0$ , $(- 4, 3)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = - 4$ e $y = 3$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - y^{2} - 3 x - 19) = \frac{d}{d x} (0)$

Etapa 1.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.1

Diferencie.

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Etapa 1.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - y^{2} - 3 x - 19$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Etapa 1.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 1.2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Etapa 1.2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Etapa 1.2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Etapa 1.2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x - (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Etapa 1.2.2.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 x - 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Etapa 1.2.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 2 y y' - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x - 2 y y' - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 19]$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$2 x - 2 y y' - 3 + \frac{d}{d x} [- 19]$

Etapa 1.2.4

Como $- 19$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 19$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x - 2 y y' - 3 + 0$

Etapa 1.2.5

Simplifique.

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Etapa 1.2.5.1

Some $2 x - 2 y y' - 3$ e $0$ .

$2 x - 2 y y' - 3$

Etapa 1.2.5.2

Reordene os termos.

$- 2 y y' + 2 x - 3$

Etapa 1.3

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 2 y y' + 2 x - 3 = 0$

Etapa 1.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 1.5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.5.1.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$- 2 y y' - 3 = - 2 x$

Etapa 1.5.1.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$- 2 y y' = - 2 x + 3$

Etapa 1.5.2

Divida cada termo em $- 2 y y' = - 2 x + 3$ por $- 2 y$ e simplifique.

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Etapa 1.5.2.1

Divida cada termo em $- 2 y y' = - 2 x + 3$ por $- 2 y$ .

$\frac{- 2 y y'}{- 2 y} = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Etapa 1.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 1.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 y y'}{- 2 y} = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Etapa 1.5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Etapa 1.5.2.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Etapa 1.5.2.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Etapa 1.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.5.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 1.5.2.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Etapa 1.5.2.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{x}{y} + \frac{3}{- 2 y}$

Etapa 1.5.2.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{x}{y} - \frac{3}{2 y}$

Etapa 1.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - \frac{3}{2 y}$

Etapa 1.7

Avalie em $x = - 4$ e $y = 3$ .

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Etapa 1.7.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$\frac{- 4}{y} - \frac{3}{2 y}$

Etapa 1.7.2

Substitua a variável $y$ por $3$ na expressão.

$\frac{- 4}{3} - \frac{3}{2 (3)}$

Etapa 1.7.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{3} - \frac{3}{2 (3)}$

Etapa 1.7.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.7.3.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{4}{3} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.7.3.2.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{4}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 1.7.4

Para escrever $- \frac{4}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 1.7.5

Para escrever $- \frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 1.7.6

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.7.6.1

Multiplique $\frac{4}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 1.7.6.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{4 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 1.7.6.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.7.6.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$- \frac{4 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6}$

Etapa 1.7.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 4 \cdot 2 - 3}{6}$

Etapa 1.7.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.7.8.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$\frac{- 8 - 3}{6}$

Etapa 1.7.8.2

Subtraia $3$ de $- 8$ .

$\frac{- 11}{6}$

Etapa 1.7.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{11}{6}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- \frac{11}{6}$ e um ponto determinado $(- 4, 3)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = - \frac{11}{6} \cdot (x - (- 4))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 3 = - \frac{11}{6} \cdot (x + 4)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- \frac{11}{6} \cdot (x + 4)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{11}{6} \cdot (x + 4)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 3 = - \frac{11}{6} x - \frac{11}{6} \cdot 4$

Etapa 2.3.1.2.2

Combine $x$ e $\frac{11}{6}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} - \frac{11}{6} \cdot 4$

Etapa 2.3.1.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{11}{6}$ para o numerador.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{6} \cdot 4$

Etapa 2.3.1.2.3.2

Fatore $2$ de $6$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{2 (3)} \cdot 4$

Etapa 2.3.1.2.3.3

Fatore $2$ de $4$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 2)$

Etapa 2.3.1.2.3.4

Cancele o fator comum.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 2)$

Etapa 2.3.1.2.3.5

Reescreva a expressão.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{3} \cdot 2$

Etapa 2.3.1.2.4

Combine $\frac{- 11}{3}$ e $2$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11 \cdot 2}{3}$

Etapa 2.3.1.2.5

Multiplique $- 11$ por $2$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 22}{3}$

Etapa 2.3.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.3.1

Mova $11$ para a esquerda de $x$ .

$y - 3 = - \frac{11 \cdot x}{6} + \frac{- 22}{3}$

Etapa 2.3.1.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - 3 = - \frac{11 x}{6} - \frac{22}{3}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$y = - \frac{11 x}{6} - \frac{22}{3} + 3$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{11 x}{6} - \frac{22}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 2.3.2.3

Combine $3$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{11 x}{6} - \frac{22}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \frac{11 x}{6} + \frac{- 22 + 3 \cdot 3}{3}$

Etapa 2.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.5.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$y = - \frac{11 x}{6} + \frac{- 22 + 9}{3}$

Etapa 2.3.2.5.2

Some $- 22$ e $9$ .

$y = - \frac{11 x}{6} + \frac{- 13}{3}$

Etapa 2.3.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{11 x}{6} - \frac{13}{3}$

Etapa 2.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.3.3.1

Reordene os termos.

$y = - (\frac{11}{6} x) - \frac{13}{3}$

Etapa 2.3.3.2

Remova os parênteses.

$y = - \frac{11}{6} x - \frac{13}{3}$

Etapa 3