Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ ; $(4, \frac{5}{2})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 4$ e $y = \frac{5}{2}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Etapa 1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Etapa 1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Etapa 1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Etapa 1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Etapa 1.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Etapa 1.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

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Etapa 1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 1.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 1.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Etapa 1.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 1.3.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.3.5.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 1.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 1.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 1.3.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 1.3.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.3.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 1.3.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 1.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 1.3.11

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.3.12

Combine $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}$

Etapa 1.3.13

Multiplique $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x^{- 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.13.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}$

Etapa 1.3.13.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}$

Etapa 1.3.13.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}$

Etapa 1.3.13.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}$

Etapa 1.3.13.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.13.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}$

Etapa 1.3.13.5.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}$

Etapa 1.3.13.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 1.3.14

Mova $x^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.4.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.5

Avalie a derivada em $x = 4$ .

$\frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.1.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.6.1.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.6.1.1.2

Multiplique os expoentes em ${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 1.6.1.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.6.1.1.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.6.1.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.6.1.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{1}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.6.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2^{1 + 1}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.6.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.6.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.6.1.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.6.1.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.6.1.3.2

Multiplique os expoentes em ${(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 1.6.1.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 1.6.1.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.6.1.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 1.6.1.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2^{3}}$

Etapa 1.6.1.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2^{1 + 3}}$

Etapa 1.6.1.3.4

Some $1$ e $3$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2^{4}}$

Etapa 1.6.1.4

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{16}$

Etapa 1.6.2

Para escrever $\frac{1}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{16}$

Etapa 1.6.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $16$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.6.3.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4 \cdot 4} - \frac{1}{16}$

Etapa 1.6.3.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{4}{16} - \frac{1}{16}$

Etapa 1.6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 - 1}{16}$

Etapa 1.6.5

Subtraia $1$ de $4$ .

$\frac{3}{16}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{3}{16}$ e um ponto determinado $(4, \frac{5}{2})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{5}{2}) = \frac{3}{16} \cdot (x - (4))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3}{16} \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{3}{16} \cdot (x - 4)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - \frac{5}{2} = 0 + 0 + \frac{3}{16} \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3}{16} \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3}{16} x + \frac{3}{16} \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.4

Combine $\frac{3}{16}$ e $x$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{16} \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.5

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Fatore $4$ de $16$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{4 (4)} \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.5.2

Fatore $4$ de $- 4$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.5.3

Cancele o fator comum.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.5.4

Reescreva a expressão.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{4} \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.6

Combine $\frac{3}{4}$ e $- 1$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{3 \cdot - 1}{4}$

Etapa 2.3.1.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.1.7.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} + \frac{- 3}{4}$

Etapa 2.3.1.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - \frac{5}{2} = \frac{3 x}{16} - \frac{3}{4}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $\frac{5}{2}$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{3 x}{16} - \frac{3}{4} + \frac{5}{2}$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $\frac{5}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{16} - \frac{3}{4} + \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 2.3.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.2.3.1

Multiplique $\frac{5}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{16} - \frac{3}{4} + \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.3.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{3 x}{16} - \frac{3}{4} + \frac{5 \cdot 2}{4}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{3 x}{16} + \frac{- 3 + 5 \cdot 2}{4}$

Etapa 2.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.5.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$y = \frac{3 x}{16} + \frac{- 3 + 10}{4}$

Etapa 2.3.2.5.2

Some $- 3$ e $10$ .

$y = \frac{3 x}{16} + \frac{7}{4}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{3}{16} x + \frac{7}{4}$

Etapa 3