Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x}$ , $x = \frac{4}{9}$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = \frac{4}{9}$ .

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Etapa 1.1

Substitua $\frac{4}{9}$ por $x$ .

$y = \sqrt{\frac{4}{9}}$

Etapa 1.2

Simplifique $\sqrt{\frac{4}{9}}$ .

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Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = \sqrt{\frac{4}{9}}$

Etapa 1.2.2

Reescreva $\sqrt{\frac{4}{9}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$ .

$y = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$

Etapa 1.2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{9}}$

Etapa 1.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$y = \frac{2}{\sqrt{9}}$

Etapa 1.2.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.2.4.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$y = \frac{2}{\sqrt{3^{2}}}$

Etapa 1.2.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$y = \frac{2}{3}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = \frac{4}{9}$ e $y = \frac{2}{3}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Etapa 2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Etapa 2.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Etapa 2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 2.8

Simplifique.

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Etapa 2.8.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.8.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.9

Avalie a derivada em $x = \frac{4}{9}$ .

$\frac{1}{2 {(\frac{4}{9})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.10

Simplifique.

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Etapa 2.10.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.10.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{4}{9}$ .

$\frac{1}{2 \frac{4^{\frac{1}{2}}}{9^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.10.1.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.10.1.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{2 \frac{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}{9^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.10.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \frac{2^{2 (\frac{1}{2})}}{9^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.10.1.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.10.1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 \frac{2^{2 (\frac{1}{2})}}{9^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.10.1.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 \frac{2^{1}}{9^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.10.1.2.4

Avalie o expoente.

$\frac{1}{2 \frac{2}{9^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.10.1.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.10.1.3.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{2 \frac{2}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.10.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \frac{2}{3^{2 (\frac{1}{2})}}}$

Etapa 2.10.1.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.10.1.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 \frac{2}{3^{2 (\frac{1}{2})}}}$

Etapa 2.10.1.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 \frac{2}{3^{1}}}$

Etapa 2.10.1.3.4

Avalie o expoente.

$\frac{1}{2 (\frac{2}{3})}$

Etapa 2.10.2

Combine frações.

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Etapa 2.10.2.1

Combine $2$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{3}}$

Etapa 2.10.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

Etapa 2.10.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 (\frac{3}{4})$

Etapa 2.10.4

Multiplique $\frac{3}{4}$ por $1$ .

$\frac{3}{4}$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $\frac{3}{4}$ e um ponto determinado $(\frac{4}{9}, \frac{2}{3})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{2}{3}) = \frac{3}{4} \cdot (x - (\frac{4}{9}))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3}{4} \cdot (x - \frac{4}{9})$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $\frac{3}{4} \cdot (x - \frac{4}{9})$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - \frac{2}{3} = 0 + 0 + \frac{3}{4} \cdot (x - \frac{4}{9})$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3}{4} \cdot (x - \frac{4}{9})$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} (- \frac{4}{9})$

Etapa 3.3.1.4

Combine $\frac{3}{4}$ e $x$ .

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} (- \frac{4}{9})$

Etapa 3.3.1.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.3.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{4}{9}$ para o numerador.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{- 4}{9}$

Etapa 3.3.1.5.2

Fatore $3$ de $9$ .

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{- 4}{3 (3)}$

Etapa 3.3.1.5.3

Cancele o fator comum.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{- 4}{3 \cdot 3}$

Etapa 3.3.1.5.4

Reescreva a expressão.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{- 4}{3}$

Etapa 3.3.1.6

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.3.1.6.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4 (- 1)}{3}$

Etapa 3.3.1.6.2

Cancele o fator comum.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{3}$

Etapa 3.3.1.6.3

Reescreva a expressão.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} + \frac{- 1}{3}$

Etapa 3.3.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - \frac{2}{3} = \frac{3 x}{4} - \frac{1}{3}$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Some $\frac{2}{3}$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{1}{3} + \frac{2}{3}$

Etapa 3.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 1 + 2}{3}$

Etapa 3.3.2.3

Some $- 1$ e $2$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{1}{3}$

Etapa 3.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{1}{3}$

Etapa 4