Cálculo Exemplos

$x^{4} + 5 y^{2} = 36$ , $(2, 2)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 2$ e $y = 2$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{4} + 5 y^{2}) = \frac{d}{d x} (36)$

Etapa 1.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.1

Diferencie.

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Etapa 1.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 5 y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Etapa 1.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 y^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 1.2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$4 x^{3} + 5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 1.2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} + 5 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 1.2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$4 x^{3} + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 1.2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 x^{3} + 5 (2 y y')$

Etapa 1.2.2.4

Multiplique $2$ por $5$ .

$4 x^{3} + 10 y y'$

Etapa 1.3

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$4 x^{3} + 10 y y' = 0$

Etapa 1.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 1.5.1

Subtraia $4 x^{3}$ dos dois lados da equação.

$10 y y' = - 4 x^{3}$

Etapa 1.5.2

Divida cada termo em $10 y y' = - 4 x^{3}$ por $10 y$ e simplifique.

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Etapa 1.5.2.1

Divida cada termo em $10 y y' = - 4 x^{3}$ por $10 y$ .

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{- 4 x^{3}}{10 y}$

Etapa 1.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $10$ .

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Etapa 1.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{- 4 x^{3}}{10 y}$

Etapa 1.5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x^{3}}{10 y}$

Etapa 1.5.2.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x^{3}}{10 y}$

Etapa 1.5.2.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3}}{10 y}$

Etapa 1.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.5.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 4$ e $10$ .

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Etapa 1.5.2.3.1.1

Fatore $2$ de $- 4 x^{3}$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x^{3})}{10 y}$

Etapa 1.5.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.5.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $10 y$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (5 y)}$

Etapa 1.5.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (5 y)}$

Etapa 1.5.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- 2 x^{3}}{5 y}$

Etapa 1.5.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 x^{3}}{5 y}$

Etapa 1.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x^{3}}{5 y}$

Etapa 1.7

Avalie em $x = 2$ e $y = 2$ .

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Etapa 1.7.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$- \frac{2 {(2)}^{3}}{5 y}$

Etapa 1.7.2

Substitua a variável $y$ por $2$ na expressão.

$- \frac{2 {(2)}^{3}}{5 (2)}$

Etapa 1.7.3

Multiplique $2$ por ${(2)}^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.7.3.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{3}$ .

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Etapa 1.7.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$- \frac{2^{1} {(2)}^{3}}{5 (2)}$

Etapa 1.7.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{2^{1 + 3}}{5 (2)}$

Etapa 1.7.3.2

Some $1$ e $3$ .

$- \frac{2^{4}}{5 (2)}$

Etapa 1.7.4

Cancele o fator comum de $2^{4}$ e $2$ .

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Etapa 1.7.4.1

Fatore $2$ de $2^{4}$ .

$- \frac{2 \cdot 2^{3}}{5 (2)}$

Etapa 1.7.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.7.4.2.1

Fatore $2$ de $5 (2)$ .

$- \frac{2 \cdot 2^{3}}{2 \cdot 5}$

Etapa 1.7.4.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 \cdot 2^{3}}{2 \cdot 5}$

Etapa 1.7.4.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{2^{3}}{5}$

Etapa 1.7.5

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- \frac{8}{5}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- \frac{8}{5}$ e um ponto determinado $(2, 2)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = - \frac{8}{5} \cdot (x - (2))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 2 = - \frac{8}{5} \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- \frac{8}{5} \cdot (x - 2)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 2 = 0 + 0 - \frac{8}{5} \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 2 = - \frac{8}{5} \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 2 = - \frac{8}{5} x - \frac{8}{5} \cdot - 2$

Etapa 2.3.1.4

Combine $x$ e $\frac{8}{5}$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 8}{5} - \frac{8}{5} \cdot - 2$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $- \frac{8}{5} \cdot - 2$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 8}{5} + 2 (\frac{8}{5})$

Etapa 2.3.1.5.2

Combine $2$ e $\frac{8}{5}$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 8}{5} + \frac{2 \cdot 8}{5}$

Etapa 2.3.1.5.3

Multiplique $2$ por $8$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 8}{5} + \frac{16}{5}$

Etapa 2.3.1.6

Mova $8$ para a esquerda de $x$ .

$y - 2 = - \frac{8 x}{5} + \frac{16}{5}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = - \frac{8 x}{5} + \frac{16}{5} + 2$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$y = - \frac{8 x}{5} + \frac{16}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 2.3.2.3

Combine $2$ e $\frac{5}{5}$ .

$y = - \frac{8 x}{5} + \frac{16}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \frac{8 x}{5} + \frac{16 + 2 \cdot 5}{5}$

Etapa 2.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.5.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$y = - \frac{8 x}{5} + \frac{16 + 10}{5}$

Etapa 2.3.2.5.2

Some $16$ e $10$ .

$y = - \frac{8 x}{5} + \frac{26}{5}$

Etapa 2.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.3.3.1

Reordene os termos.

$y = - (\frac{8}{5} x) + \frac{26}{5}$

Etapa 2.3.3.2

Remova os parênteses.

$y = - \frac{8}{5} x + \frac{26}{5}$

Etapa 3