Cálculo Exemplos

$f (x) = - 3 \cos (x) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ at $x = \frac{π}{4}$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = \frac{π}{4}$ .

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Etapa 1.1

Substitua $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$y = - 3 \cos (\frac{π}{4}) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = - 3 \cos (\frac{π}{4}) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.2.2

Simplifique $- 3 \cos (\frac{π}{4}) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 1.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.2.1.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = - 3 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.2.2.1.2

Combine $- 3$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{- 3 \sqrt{2}}{2} - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.2.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique os termos.

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Etapa 1.2.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - 2 + \frac{- 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Etapa 1.2.2.2.2

Some $- 3 \sqrt{2}$ e $3 \sqrt{2}$ .

$y = - 2 + \frac{0}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Etapa 1.2.2.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.2.2.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$y = - 2 + 0 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Etapa 1.2.2.2.3.2

Some $- 2$ e $0$ .

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = \frac{π}{4}$ e $y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 \cos (x) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 \cos (x)$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- 3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 \sin (x) + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

Etapa 2.3.2

Como $\frac{3 \sqrt{2} π}{8}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 \sqrt{2} π}{8}$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 \sin (x) + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 \sin (x) + 0 + 0 + 0$

Etapa 2.4

Combine os termos.

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Etapa 2.4.1

Some $3 \sin (x)$ e $0$ .

$3 \sin (x) + 0 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $3 \sin (x)$ e $0$ .

$3 \sin (x) + 0$

Etapa 2.4.3

Some $3 \sin (x)$ e $0$ .

$3 \sin (x)$

Etapa 2.5

Avalie a derivada em $x = \frac{π}{4}$ .

$3 \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.6.2

Combine $3$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ e um ponto determinado $(\frac{π}{4}, - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = 0 + 0 + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} x + \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$

Etapa 3.3.1.4

Combine $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ e $x$ .

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$

Etapa 3.3.1.5

Multiplique $\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$ .

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Etapa 3.3.1.5.1

Multiplique $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{π}{4}$ .

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} π}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.3.1.5.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$y - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - 2$

Etapa 3.3.2.2

Some $\frac{3 \sqrt{2} π}{8}$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Etapa 3.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 3 \sqrt{2} π + 3 \sqrt{2} π}{8}$

Etapa 3.3.2.4

Some $- 3 \sqrt{2} π$ e $3 \sqrt{2} π$ .

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{0}{8}$

Etapa 3.3.2.5

Combine os termos opostos em $- 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{0}{8}$ .

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Etapa 3.3.2.5.1

Divida $0$ por $8$ .

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + 0$

Etapa 3.3.2.5.2

Some $- 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2}$ e $0$ .

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2}$

Etapa 3.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 3.3.3.1

Reordene $- 2$ e $\frac{3 \sqrt{2} x}{2}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - 2$

Etapa 3.3.3.2

Reordene os termos.

$y = \frac{3 \sqrt{2}}{2} x - 2$

Etapa 4