Cálculo Exemplos

$f (x) = - \frac{1}{x - 1}$ at $(- 5, \frac{1}{6})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = - 5$ e $y = \frac{1}{6}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x - 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 1}] + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{1}{x - 1}$ como ${(x - 1)}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- 1}] + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x - 1$ .

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Etapa 1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$- (- {(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.4

Diferencie.

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Etapa 1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 ({(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.4.2

Multiplique ${(x - 1)}^{- 2}$ por $1$ .

${(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.4.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

${(x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

${(x - 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.4.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

${(x - 1)}^{- 2} (1 + 0) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.4.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.4.6.1

Some $1$ e $0$ .

${(x - 1)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.4.6.2

Multiplique ${(x - 1)}^{- 2}$ por $1$ .

${(x - 1)}^{- 2} + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.4.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

${(x - 1)}^{- 2} + \frac{1}{x - 1} \cdot 0$

Etapa 1.4.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.4.8.1

Multiplique $\frac{1}{x - 1}$ por $0$ .

${(x - 1)}^{- 2} + 0$

Etapa 1.4.8.2

Some ${(x - 1)}^{- 2}$ e $0$ .

${(x - 1)}^{- 2}$

Etapa 1.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.6

Avalie a derivada em $x = - 5$ .

$\frac{1}{{((- 5) - 1)}^{2}}$

Etapa 1.7

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.7.1

Subtraia $1$ de $- 5$ .

$\frac{1}{{(- 6)}^{2}}$

Etapa 1.7.2

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{36}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{1}{36}$ e um ponto determinado $(- 5, \frac{1}{6})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{6}) = \frac{1}{36} \cdot (x - (- 5))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \cdot (x + 5)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{1}{36} \cdot (x + 5)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - \frac{1}{6} = 0 + 0 + \frac{1}{36} \cdot (x + 5)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \cdot (x + 5)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \frac{1}{6} = \frac{1}{36} x + \frac{1}{36} \cdot 5$

Etapa 2.3.1.4

Combine $\frac{1}{36}$ e $x$ .

$y - \frac{1}{6} = \frac{x}{36} + \frac{1}{36} \cdot 5$

Etapa 2.3.1.5

Combine $\frac{1}{36}$ e $5$ .

$y - \frac{1}{6} = \frac{x}{36} + \frac{5}{36}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $\frac{1}{6}$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{1}{6}$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $\frac{1}{6}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{6}$

Etapa 2.3.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $36$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $\frac{6}{6}$ .

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{6}{6 \cdot 6}$

Etapa 2.3.2.3.2

Multiplique $6$ por $6$ .

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{6}{36}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x}{36} + \frac{5 + 6}{36}$

Etapa 2.3.2.5

Some $5$ e $6$ .

$y = \frac{x}{36} + \frac{11}{36}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{1}{36} x + \frac{11}{36}$

Etapa 3