Cálculo Exemplos

$f (x) = (x^{2} + 7) (5 x + 4)$ ; $x = 2$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = 2$ .

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Etapa 1.1

Substitua $2$ por $x$ .

$y = ({(2)}^{2} + 7) (5 (2) + 4)$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = (2^{2} + 7) (5 (2) + 4)$

Etapa 1.2.2

Remova os parênteses.

$y = ({(2)}^{2} + 7) (5 (2) + 4)$

Etapa 1.2.3

Simplifique $({(2)}^{2} + 7) (5 (2) + 4)$ .

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Etapa 1.2.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = (4 + 7) (5 (2) + 4)$

Etapa 1.2.3.2

Some $4$ e $7$ .

$y = 11 (5 (2) + 4)$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $5$ por $2$ .

$y = 11 (10 + 4)$

Etapa 1.2.3.4

Some $10$ e $4$ .

$y = 11 \cdot 14$

Etapa 1.2.3.5

Multiplique $11$ por $14$ .

$y = 154$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 2$ e $y = 154$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2} + 7$ e $g (x) = 5 x + 4$ .

$(x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [5 x + 4] + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x^{2} + 7) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Etapa 2.2.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 7) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x^{2} + 7) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Etapa 2.2.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$(x^{2} + 7) (5 + \frac{d}{d x} [4]) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Etapa 2.2.5

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x^{2} + 7) (5 + 0) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Etapa 2.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.6.1

Some $5$ e $0$ .

$(x^{2} + 7) \cdot 5 + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Etapa 2.2.6.2

Mova $5$ para a esquerda de $x^{2} + 7$ .

$5 \cdot (x^{2} + 7) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Etapa 2.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$5 (x^{2} + 7) + (5 x + 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 2.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 (x^{2} + 7) + (5 x + 4) (2 x + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 2.2.9

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 (x^{2} + 7) + (5 x + 4) (2 x + 0)$

Etapa 2.2.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$5 (x^{2} + 7) + (5 x + 4) (2 x)$

Etapa 2.2.10.2

Mova $2$ para a esquerda de $5 x + 4$ .

$5 (x^{2} + 7) + 2 \cdot (5 x + 4) x$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{2} + 5 \cdot 7 + 2 (5 x + 4) x$

Etapa 2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{2} + 5 \cdot 7 + (2 (5 x) + 2 \cdot 4) x$

Etapa 2.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{2} + 5 \cdot 7 + 2 (5 x) x + 2 \cdot 4 x$

Etapa 2.3.4

Combine os termos.

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Etapa 2.3.4.1

Multiplique $5$ por $7$ .

$5 x^{2} + 35 + 2 (5 x) x + 2 \cdot 4 x$

Etapa 2.3.4.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$5 x^{2} + 35 + 10 x \cdot x + 2 \cdot 4 x$

Etapa 2.3.4.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$5 x^{2} + 35 + 10 (x^{1} x) + 2 \cdot 4 x$

Etapa 2.3.4.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$5 x^{2} + 35 + 10 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 4 x$

Etapa 2.3.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 x^{2} + 35 + 10 x^{1 + 1} + 2 \cdot 4 x$

Etapa 2.3.4.6

Some $1$ e $1$ .

$5 x^{2} + 35 + 10 x^{2} + 2 \cdot 4 x$

Etapa 2.3.4.7

Multiplique $2$ por $4$ .

$5 x^{2} + 35 + 10 x^{2} + 8 x$

Etapa 2.3.4.8

Some $5 x^{2}$ e $10 x^{2}$ .

$15 x^{2} + 35 + 8 x$

Etapa 2.3.5

Reordene os termos.

$15 x^{2} + 8 x + 35$

Etapa 2.4

Avalie a derivada em $x = 2$ .

$15 {(2)}^{2} + 8 (2) + 35$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$15 \cdot 4 + 8 (2) + 35$

Etapa 2.5.1.2

Multiplique $15$ por $4$ .

$60 + 8 (2) + 35$

Etapa 2.5.1.3

Multiplique $8$ por $2$ .

$60 + 16 + 35$

Etapa 2.5.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 2.5.2.1

Some $60$ e $16$ .

$76 + 35$

Etapa 2.5.2.2

Some $76$ e $35$ .

$111$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $111$ e um ponto determinado $(2, 154)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (154) = 111 \cdot (x - (2))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 154 = 111 \cdot (x - 2)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $111 \cdot (x - 2)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - 154 = 0 + 0 + 111 \cdot (x - 2)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 154 = 111 \cdot (x - 2)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 154 = 111 x + 111 \cdot - 2$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $111$ por $- 2$ .

$y - 154 = 111 x - 222$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Some $154$ aos dois lados da equação.

$y = 111 x - 222 + 154$

Etapa 3.3.2.2

Some $- 222$ e $154$ .

$y = 111 x - 68$

Etapa 4