Cálculo Exemplos

$y = x^{\sin (x)}$ , $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = \frac{π}{2}$ e $y = \frac{π}{2}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Reescreva $x^{\sin (x)}$ como $e^{\ln (x^{\sin (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\sin (x)})}]$

Etapa 1.1.2

Expanda $\ln (x^{\sin (x)})$ movendo $\sin (x)$ para fora do logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (x) \ln (x)}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \sin (x) \ln (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x) \ln (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 1.4

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 1.5

Combine $\sin (x)$ e $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 1.6

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x))$

Etapa 1.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{\sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} (\ln (x) \cos (x))$

Etapa 1.7.2

Combine $e^{\sin (x) \ln (x)}$ e $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} \ln (x) \cos (x)$

Etapa 1.7.3

Reordene os termos.

$e^{\sin (x) \ln (x)} \cos (x) \ln (x) + \frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x}$

Etapa 1.8

Avalie a derivada em $x = \frac{π}{2}$ .

$e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Etapa 1.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$e^{1 \ln (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Etapa 1.9.1.2

Simplifique $1 \ln (\frac{π}{2})$ movendo $1$ para dentro do logaritmo.

$e^{\ln ({(\frac{π}{2})}^{1})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Etapa 1.9.1.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

${(\frac{π}{2})}^{1} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Etapa 1.9.1.4

Simplifique.

$\frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Etapa 1.9.1.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\frac{π}{2} \cdot 0 \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Etapa 1.9.1.6

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $0$ .

$0 \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Etapa 1.9.1.7

Multiplique $0$ por $\ln (\frac{π}{2})$ .

$0 + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Etapa 1.9.1.8

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$0 + e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Etapa 1.9.1.9

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$0 + e^{1 \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Etapa 1.9.1.10

Simplifique $1 \ln (\frac{π}{2})$ movendo $1$ para dentro do logaritmo.

$0 + e^{\ln ({(\frac{π}{2})}^{1})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Etapa 1.9.1.11

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$0 + {(\frac{π}{2})}^{1} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Etapa 1.9.1.12

Simplifique.

$0 + \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Etapa 1.9.1.13

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$0 + \frac{π}{2} \cdot 1 \frac{2}{π}$

Etapa 1.9.1.14

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $1$ .

$0 + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Etapa 1.9.1.15

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.1.15.1

Cancele o fator comum.

$0 + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Etapa 1.9.1.15.2

Reescreva a expressão.

$0 + \frac{1}{2} \cdot 2$

Etapa 1.9.1.16

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.1.16.1

Cancele o fator comum.

$0 + \frac{1}{2} \cdot 2$

Etapa 1.9.1.16.2

Reescreva a expressão.

$0 + 1$

Etapa 1.9.2

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use a inclinação $1$ e um ponto determinado $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{2}) = 1 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \frac{π}{2} = 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique $x - \frac{π}{2}$ por $1$ .

$y - \frac{π}{2} = x - \frac{π}{2}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Some $\frac{π}{2}$ aos dois lados da equação.

$y = x - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 2.3.2.2

Combine os termos opostos em $x - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Some $- \frac{π}{2}$ e $\frac{π}{2}$ .

$y = x + 0$

Etapa 2.3.2.2.2

Some $x$ e $0$ .

$y = x$

Etapa 3