Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{2 x^{3}}$ , $(- 2, - \frac{1}{16})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = - 2$ e $y = - \frac{1}{16}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2 x^{3}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Etapa 1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Etapa 1.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Etapa 1.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$\frac{1}{2} (- 3 x^{- 4})$

Etapa 1.4

Combine frações.

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Etapa 1.4.1

Combine $- 3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 3}{2} x^{- 4}$

Etapa 1.4.2

Combine $\frac{- 3}{2}$ e $x^{- 4}$ .

$\frac{- 3 x^{- 4}}{2}$

Etapa 1.4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.4.3.1

Mova $x^{- 4}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{2 x^{4}}$

Etapa 1.4.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{2 x^{4}}$

Etapa 1.5

Avalie a derivada em $x = - 2$ .

$- \frac{3}{2 {(- 2)}^{4}}$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 16}$

Etapa 1.6.2

Multiplique $2$ por $16$ .

$- \frac{3}{32}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- \frac{3}{32}$ e um ponto determinado $(- 2, - \frac{1}{16})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{1}{16}) = - \frac{3}{32} \cdot (x - (- 2))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + \frac{1}{16} = - \frac{3}{32} \cdot (x + 2)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- \frac{3}{32} \cdot (x + 2)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y + \frac{1}{16} = 0 + 0 - \frac{3}{32} \cdot (x + 2)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y + \frac{1}{16} = - \frac{3}{32} x - \frac{3}{32} \cdot 2$

Etapa 2.3.1.2.2

Combine $x$ e $\frac{3}{32}$ .

$y + \frac{1}{16} = - \frac{x \cdot 3}{32} - \frac{3}{32} \cdot 2$

Etapa 2.3.1.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{32}$ para o numerador.

$y + \frac{1}{16} = - \frac{x \cdot 3}{32} + \frac{- 3}{32} \cdot 2$

Etapa 2.3.1.2.3.2

Fatore $2$ de $32$ .

$y + \frac{1}{16} = - \frac{x \cdot 3}{32} + \frac{- 3}{2 (16)} \cdot 2$

Etapa 2.3.1.2.3.3

Cancele o fator comum.

$y + \frac{1}{16} = - \frac{x \cdot 3}{32} + \frac{- 3}{2 \cdot 16} \cdot 2$

Etapa 2.3.1.2.3.4

Reescreva a expressão.

$y + \frac{1}{16} = - \frac{x \cdot 3}{32} + \frac{- 3}{16}$

Etapa 2.3.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.3.1

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$y + \frac{1}{16} = - \frac{3 \cdot x}{32} + \frac{- 3}{16}$

Etapa 2.3.1.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + \frac{1}{16} = - \frac{3 x}{32} - \frac{3}{16}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Subtraia $\frac{1}{16}$ dos dois lados da equação.

$y = - \frac{3 x}{32} - \frac{3}{16} - \frac{1}{16}$

Etapa 2.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{- 3 x}{32} + \frac{- 3 - 1}{16}$

Etapa 2.3.2.3

Subtraia $1$ de $- 3$ .

$y = \frac{- 3 x}{32} + \frac{- 4}{16}$

Etapa 2.3.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.2.4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{3 x}{32} + \frac{- 4}{16}$

Etapa 2.3.2.4.2

Cancele o fator comum de $- 4$ e $16$ .

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Etapa 2.3.2.4.2.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$y = - \frac{3 x}{32} + \frac{4 (- 1)}{16}$

Etapa 2.3.2.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.2.4.2.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$y = - \frac{3 x}{32} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

Etapa 2.3.2.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{3 x}{32} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

Etapa 2.3.2.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{3 x}{32} + \frac{- 1}{4}$

Etapa 2.3.2.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{3 x}{32} - \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.3.3.1

Reordene os termos.

$y = - (\frac{3}{32} x) - \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.3.2

Remova os parênteses.

$y = - \frac{3}{32} x - \frac{1}{4}$

Etapa 3