Cálculo Exemplos

$y^{2} e^{2 x} - 4 y - x^{2} = 0$ , $(0, 4)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 0$ e $y = 4$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y^{2} e^{2 x} - 4 y - x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Etapa 1.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} e^{2 x} - 4 y - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2} e^{2 x}]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = y^{2}$ e $g (x) = e^{2 x}$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$y^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2.2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$y^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$y^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2.2.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2.2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 1.2.2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2.2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2.2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2.2.6

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2.2.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$y^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2.2.8

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$y^{2} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2.2.9

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$2 \cdot y^{2} e^{2 x} + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2.2.10

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

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Etapa 1.2.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 y$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' - (2 x)$

Etapa 1.2.4.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' - 2 x$

Etapa 1.2.5

Simplifique.

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Etapa 1.2.5.1

Reordene os termos.

$2 e^{2 x} y^{2} + 2 e^{2 x} y y' - 2 x - 4 y'$

Etapa 1.2.5.2

Reordene os fatores em $2 e^{2 x} y^{2} + 2 e^{2 x} y y' - 2 x - 4 y'$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} y' - 2 x - 4 y'$

Etapa 1.3

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} y' - 2 x - 4 y' = 0$

Etapa 1.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 1.5.1

Reordene os fatores em $2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} y' - 2 x - 4 y'$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 y y' e^{2 x} - 2 x - 4 y' = 0$

Etapa 1.5.2

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.5.2.1

Subtraia $2 y^{2} e^{2 x}$ dos dois lados da equação.

$2 y y' e^{2 x} - 2 x - 4 y' = - 2 y^{2} e^{2 x}$

Etapa 1.5.2.2

Some $2 x$ aos dois lados da equação.

$2 y y' e^{2 x} - 4 y' = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

Etapa 1.5.3

Fatore $2 y'$ de $2 y y' e^{2 x} - 4 y'$ .

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Etapa 1.5.3.1

Fatore $2 y'$ de $2 y y' e^{2 x}$ .

$2 y' (y e^{2 x}) - 4 y' = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

Etapa 1.5.3.2

Fatore $2 y'$ de $- 4 y'$ .

$2 y' (y e^{2 x}) + 2 y' \cdot - 2 = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

Etapa 1.5.3.3

Fatore $2 y'$ de $2 y' (y e^{2 x}) + 2 y' \cdot - 2$ .

$2 y' (y e^{2 x} - 2) = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

Etapa 1.5.4

Divida cada termo em $2 y' (y e^{2 x} - 2) = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$ por $2 (y e^{2 x} - 2)$ e simplifique.

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Etapa 1.5.4.1

Divida cada termo em $2 y' (y e^{2 x} - 2) = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$ por $2 (y e^{2 x} - 2)$ .

$\frac{2 y' (y e^{2 x} - 2)}{2 (y e^{2 x} - 2)} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.5.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y' (y e^{2 x} - 2)}{2 (y e^{2 x} - 2)} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (y e^{2 x} - 2)}{y e^{2 x} - 2} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Etapa 1.5.4.2.2

Cancele o fator comum de $y e^{2 x} - 2$ .

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Etapa 1.5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (y e^{2 x} - 2)}{y e^{2 x} - 2} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Etapa 1.5.4.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Etapa 1.5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.5.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.4.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 1.5.4.3.1.1.1

Fatore $2$ de $- 2 y^{2} e^{2 x}$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} e^{2 x})}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Etapa 1.5.4.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.5.4.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 (- y^{2} e^{2 x})}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Etapa 1.5.4.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Etapa 1.5.4.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Etapa 1.5.4.3.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.5.4.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Etapa 1.5.4.3.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{x}{y e^{2 x} - 2}$

Etapa 1.5.4.3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 1.5.4.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- y^{2} e^{2 x} + x}{y e^{2 x} - 2}$

Etapa 1.5.4.3.2.2

Fatore $- 1$ de $- y^{2} e^{2 x}$ .

$y' = \frac{- (y^{2} e^{2 x}) + x}{y e^{2 x} - 2}$

Etapa 1.5.4.3.2.3

Fatore $- 1$ de $x$ .

$y' = \frac{- (y^{2} e^{2 x}) - 1 (- x)}{y e^{2 x} - 2}$

Etapa 1.5.4.3.2.4

Fatore $- 1$ de $- (y^{2} e^{2 x}) - 1 (- x)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} e^{2 x} - x)}{y e^{2 x} - 2}$

Etapa 1.5.4.3.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.5.4.3.2.5.1

Reescreva $- (y^{2} e^{2 x} - x)$ como $- 1 (y^{2} e^{2 x} - x)$ .

$y' = \frac{- 1 (y^{2} e^{2 x} - x)}{y e^{2 x} - 2}$

Etapa 1.5.4.3.2.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x} - x}{y e^{2 x} - 2}$

Etapa 1.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} e^{2 x} - x}{y e^{2 x} - 2}$

Etapa 1.7

Avalie em $x = 0$ e $y = 4$ .

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Etapa 1.7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$- \frac{y^{2} e^{2 (0)} - (0)}{y e^{2 (0)} - 2}$

Etapa 1.7.2

Substitua a variável $y$ por $4$ na expressão.

$- \frac{{(4)}^{2} e^{2 (0)} - (0)}{(4) \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Etapa 1.7.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.7.3.1

Reescreva $4^{2} e^{2 (0)}$ como ${(4 e^{0})}^{2}$ .

$- \frac{{(4 e^{0})}^{2} - (0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Etapa 1.7.3.2

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$- \frac{{(4 e^{0})}^{2} - 0^{2}}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Etapa 1.7.3.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 4 e^{0}$ e $b = 0$ .

$- \frac{(4 e^{0} + 0) (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Etapa 1.7.3.4

Simplifique.

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Etapa 1.7.3.4.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- \frac{(4 \cdot 1 + 0) (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Etapa 1.7.3.4.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$- \frac{(4 + 0) (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Etapa 1.7.3.4.3

Some $4$ e $0$ .

$- \frac{4 (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Etapa 1.7.3.4.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- \frac{4 (4 \cdot 1 + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Etapa 1.7.3.4.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$- \frac{4 (4 + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Etapa 1.7.3.4.6

Some $4$ e $0$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Etapa 1.7.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.7.4.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot e^{0} - 2}$

Etapa 1.7.4.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1 - 2}$

Etapa 1.7.4.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 - 2}$

Etapa 1.7.4.4

Subtraia $2$ de $4$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{2}$

Etapa 1.7.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.7.5.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$- \frac{16}{2}$

Etapa 1.7.5.2

Divida $16$ por $2$ .

$- 1 \cdot 8$

Etapa 1.7.5.3

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$- 8$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- 8$ e um ponto determinado $(0, 4)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - 8 \cdot (x - (0))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 4 = - 8 \cdot (x + 0)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Some $x$ e $0$ .

$y - 4 = - 8 x$

Etapa 2.3.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$y = - 8 x + 4$

Etapa 3