Cálculo Exemplos

$y = 2 x^{2} - 5$ at $(2, 3)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 2$ e $y = 3$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x + 0$

Etapa 1.3.2

Some $4 x$ e $0$ .

$4 x$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = 2$ .

$4 (2)$

Etapa 1.5

Multiplique $4$ por $2$ .

$8$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $8$ e um ponto determinado $(2, 3)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = 8 \cdot (x - (2))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 3 = 8 \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $8 \cdot (x - 2)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 3 = 0 + 0 + 8 \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 3 = 8 \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 3 = 8 x + 8 \cdot - 2$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $8$ por $- 2$ .

$y - 3 = 8 x - 16$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$y = 8 x - 16 + 3$

Etapa 2.3.2.2

Some $- 16$ e $3$ .

$y = 8 x - 13$

Etapa 3