Cálculo Exemplos

$y = \frac{e^{8 x}}{x}$ , $(\frac{1}{8}, 8 e)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = \frac{1}{8}$ e $y = 8 e$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{8 x}$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{8 x}] - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 8 x$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $8 x$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [8 x]) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{x (e^{u} \frac{d}{d x} [8 x]) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $8 x$ .

$\frac{x (e^{8 x} \frac{d}{d x} [8 x]) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (e^{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x])) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x (e^{8 x} (8 \cdot 1)) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.3.1

Multiplique $8$ por $1$ .

$\frac{x (e^{8 x} \cdot 8) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3.2

Mova $8$ para a esquerda de $e^{8 x}$ .

$\frac{x (8 \cdot e^{8 x}) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x (8 e^{8 x}) - e^{8 x} \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x (8 e^{8 x}) - e^{8 x}}{x^{2}}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{8 x e^{8 x} - e^{8 x}}{x^{2}}$

Etapa 1.4.2

Reordene os termos.

$\frac{8 e^{8 x} x - e^{8 x}}{x^{2}}$

Etapa 1.4.3

Fatore $e^{8 x}$ de $8 e^{8 x} x - e^{8 x}$ .

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Etapa 1.4.3.1

Fatore $e^{8 x}$ de $8 e^{8 x} x$ .

$\frac{e^{8 x} (8 x) - e^{8 x}}{x^{2}}$

Etapa 1.4.3.2

Fatore $e^{8 x}$ de $- e^{8 x}$ .

$\frac{e^{8 x} (8 x) + e^{8 x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Etapa 1.4.3.3

Fatore $e^{8 x}$ de $e^{8 x} (8 x) + e^{8 x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{8 x} (8 x - 1)}{x^{2}}$

Etapa 1.5

Avalie a derivada em $x = \frac{1}{8}$ .

$\frac{e^{8 (\frac{1}{8})} (8 (\frac{1}{8}) - 1)}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.6.1.1

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 1.6.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{8 (\frac{1}{8})} (8 (\frac{1}{8}) - 1)}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 1.6.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{8 (\frac{1}{8})} (1 - 1)}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 1.6.1.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{e^{8 (\frac{1}{8})} \cdot 0}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 1.6.1.3

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 1.6.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{8 (\frac{1}{8})} \cdot 0}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 1.6.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{1} \cdot 0}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 1.6.1.4

Simplifique.

$\frac{e \cdot 0}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Etapa 1.6.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.6.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{8}$ .

$\frac{e \cdot 0}{\frac{1^{2}}{8^{2}}}$

Etapa 1.6.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{e \cdot 0}{\frac{1}{8^{2}}}$

Etapa 1.6.2.3

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\frac{e \cdot 0}{\frac{1}{64}}$

Etapa 1.6.3

Multiplique $e$ por $0$ .

$\frac{0}{\frac{1}{64}}$

Etapa 1.6.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$0 \cdot 64$

Etapa 1.6.5

Multiplique $0$ por $64$ .

$0$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $0$ e um ponto determinado $(\frac{1}{8}, 8 e)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8 e) = 0 \cdot (x - (\frac{1}{8}))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 8 e = 0 \cdot (x - \frac{1}{8})$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $0$ por $x - \frac{1}{8}$ .

$y - 8 e = 0$

Etapa 2.3.2

Some $8 e$ aos dois lados da equação.

$y = 8 e$

Etapa 3