Cálculo Exemplos

$f (x) = - 3 \cos (x)$ at $x = \frac{3}{4} π$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = \frac{3}{4} \cdot π$ .

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Etapa 1.1

Substitua $\frac{3}{4} \cdot π$ por $x$ .

$y = - 3 \cos (\frac{3}{4} \cdot π)$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = - 3 \cos (\frac{3}{4} \cdot π)$

Etapa 1.2.2

Simplifique $- 3 \cos (\frac{3}{4} \cdot π)$ .

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Etapa 1.2.2.1

Combine $\frac{3}{4}$ e $π$ .

$y = - 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

Etapa 1.2.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$y = - 3 (- \cos (\frac{π}{4}))$

Etapa 1.2.2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = - 3 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 1.2.2.4

Multiplique $- 3 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Etapa 1.2.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$y = 3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.2.2.4.2

Combine $3$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = \frac{3}{4} π$ e $y = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 \cos (x)$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- 3 (- \sin (x))$

Etapa 2.3

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$3 \sin (x)$

Etapa 2.4

Avalie a derivada em $x = \frac{3}{4} \cdot π$ .

$3 \sin (\frac{3}{4} \cdot π)$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Combine $\frac{3}{4}$ e $π$ .

$3 \sin (\frac{3 π}{4})$

Etapa 2.5.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$3 \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 2.5.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.5.4

Combine $3$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ e um ponto determinado $(\frac{3}{4} \cdot π, \frac{3 \sqrt{2}}{2})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - (\frac{3}{4} \cdot π))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = 0 + 0 + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} x + \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{3 π}{4})$

Etapa 3.3.1.4

Combine $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ e $x$ .

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{3 π}{4})$

Etapa 3.3.1.5

Multiplique $\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{3 π}{4})$ .

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Etapa 3.3.1.5.1

Multiplique $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{3 π}{4}$ .

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} (3 π)}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.3.1.5.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.3.1.5.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8}$

Etapa 3.3.2

Some $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 3.3.3.1

Para escrever $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 3.3.3.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.3.3.2.1

Multiplique $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2} \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.3.3.2.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2} \cdot 4}{8}$

Etapa 3.3.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 9 \sqrt{2} π + 3 \sqrt{2} \cdot 4}{8}$

Etapa 3.3.3.4

Multiplique $4$ por $3$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 9 \sqrt{2} π + 12 \sqrt{2}}{8}$

Etapa 3.3.3.5

Fatore $- 1$ de $- 9 \sqrt{2} π$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- (9 \sqrt{2} π) + 12 \sqrt{2}}{8}$

Etapa 3.3.3.6

Fatore $- 1$ de $12 \sqrt{2}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- (9 \sqrt{2} π) - (- 12 \sqrt{2})}{8}$

Etapa 3.3.3.7

Fatore $- 1$ de $- (9 \sqrt{2} π) - (- 12 \sqrt{2})$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})}{8}$

Etapa 3.3.3.8

Reescreva $- (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})$ como $- 1 (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 1 (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})}{8}$

Etapa 3.3.3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2}}{8}$

Etapa 3.3.3.10

Reordene os termos.

$y = \frac{3 \sqrt{2}}{2} x - \frac{9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2}}{8}$

Etapa 4