Cálculo Exemplos

$y = x^{4} + 7 x^{2} - x$ , $(1, 7)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = 7$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 7 x^{2} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{2}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} + 7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $7$ .

$4 x^{3} + 14 x + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 14 x - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x^{3} + 14 x - 1 \cdot 1$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$4 x^{3} + 14 x - 1$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = 1$ .

$4 {(1)}^{3} + 14 (1) - 1$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$4 \cdot 1 + 14 (1) - 1$

Etapa 1.5.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + 14 (1) - 1$

Etapa 1.5.1.3

Multiplique $14$ por $1$ .

$4 + 14 - 1$

Etapa 1.5.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 1.5.2.1

Some $4$ e $14$ .

$18 - 1$

Etapa 1.5.2.2

Subtraia $1$ de $18$ .

$17$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $17$ e um ponto determinado $(1, 7)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (7) = 17 \cdot (x - (1))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 7 = 17 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $17 \cdot (x - 1)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 7 = 0 + 0 + 17 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 7 = 17 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 7 = 17 x + 17 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $17$ por $- 1$ .

$y - 7 = 17 x - 17$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $7$ aos dois lados da equação.

$y = 17 x - 17 + 7$

Etapa 2.3.2.2

Some $- 17$ e $7$ .

$y = 17 x - 10$

Etapa 3