Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} {(3 - x)}^{4}$ ; $x = 2$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = 2$ .

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Etapa 1.1

Substitua $2$ por $x$ .

$y = {(2)}^{3} {(3 - (2))}^{4}$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = 2^{3} {(3 - (2))}^{4}$

Etapa 1.2.2

Remova os parênteses.

$y = {(2)}^{3} {(3 - (2))}^{4}$

Etapa 1.2.3

Simplifique ${(2)}^{3} {(3 - (2))}^{4}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$y = 8 {(3 - (2))}^{4}$

Etapa 1.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y = 8 {(3 - 2)}^{4}$

Etapa 1.2.3.3

Subtraia $2$ de $3$ .

$y = 8 \cdot 1^{4}$

Etapa 1.2.3.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = 8 \cdot 1$

Etapa 1.2.3.5

Multiplique $8$ por $1$ .

$y = 8$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 2$ e $y = 8$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = {(3 - x)}^{4}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{4}] + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 3 - x$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 - x$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$x^{3} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 - x$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.3.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [- x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.3.5

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3} \cdot 1) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.3.7

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + {(3 - x)}^{4} (3 x^{2})$

Etapa 2.3.9

Mova $3$ para a esquerda de ${(3 - x)}^{4}$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + 3 \cdot {(3 - x)}^{4} x^{2}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Fatore $x^{2} {(3 - x)}^{3}$ de $x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + 3 {(3 - x)}^{4} x^{2}$ .

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Etapa 2.4.1.1

Fatore $x^{2} {(3 - x)}^{3}$ de $x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3})$ .

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4)) + 3 {(3 - x)}^{4} x^{2}$

Etapa 2.4.1.2

Fatore $x^{2} {(3 - x)}^{3}$ de $3 {(3 - x)}^{4} x^{2}$ .

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4)) + x^{2} {(3 - x)}^{3} (3 (3 - x))$

Etapa 2.4.1.3

Fatore $x^{2} {(3 - x)}^{3}$ de $x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4)) + x^{2} {(3 - x)}^{3} (3 (3 - x))$ .

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4) + 3 (3 - x))$

Etapa 2.4.2

Mova $- 4$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (- 4 x + 3 (3 - x))$

Etapa 2.5

Avalie a derivada em $x = 2$ .

${(2)}^{2} {(3 - (2))}^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 {(3 - (2))}^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Etapa 2.6.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 {(3 - 2)}^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Etapa 2.6.1.3

Subtraia $2$ de $3$ .

$4 \cdot 1^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Etapa 2.6.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$4 \cdot 1 (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Etapa 2.6.1.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Etapa 2.6.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.6.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$4 (- 8 + 3 (3 - (2)))$

Etapa 2.6.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 (- 8 + 3 (3 - 2))$

Etapa 2.6.2.3

Subtraia $2$ de $3$ .

$4 (- 8 + 3 \cdot 1)$

Etapa 2.6.2.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$4 (- 8 + 3)$

Etapa 2.6.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.3.1

Some $- 8$ e $3$ .

$4 \cdot - 5$

Etapa 2.6.3.2

Multiplique $4$ por $- 5$ .

$- 20$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $- 20$ e um ponto determinado $(2, 8)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = - 20 \cdot (x - (2))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 8 = - 20 \cdot (x - 2)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $- 20 \cdot (x - 2)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - 8 = 0 + 0 - 20 \cdot (x - 2)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 8 = - 20 \cdot (x - 2)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 8 = - 20 x - 20 \cdot - 2$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $- 20$ por $- 2$ .

$y - 8 = - 20 x + 40$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Some $8$ aos dois lados da equação.

$y = - 20 x + 40 + 8$

Etapa 3.3.2.2

Some $40$ e $8$ .

$y = - 20 x + 48$

Etapa 4