Cálculo Exemplos

$y = - 3 x^{3} - \sqrt{x} + \frac{2}{x}$ ; $(1, - 2)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = - 2$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 x^{3} - \sqrt{x} + \frac{2}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$- 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Etapa 1.3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- 9 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Etapa 1.3.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Etapa 1.3.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Etapa 1.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Etapa 1.3.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Etapa 1.3.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Etapa 1.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Etapa 1.3.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Etapa 1.3.10

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.4.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 (- x^{- 2})$

Etapa 1.4.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{- 2}$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.5.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Etapa 1.5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{2}}$

Etapa 1.5.3

Reordene os termos.

$- 9 x^{2} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.6

Avalie a derivada em $x = 1$ .

$- 9 {(1)}^{2} - \frac{2}{{(1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 9 \cdot 1 - \frac{2}{{(1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.7.1.2

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$- 9 - \frac{2}{{(1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.7.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 9 - \frac{2}{1} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.7.1.4

Divida $2$ por $1$ .

$- 9 - 1 \cdot 2 - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.7.1.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 9 - 2 - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.7.1.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 9 - 2 - \frac{1}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.7.1.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 9 - 2 - \frac{1}{2}$

Etapa 1.7.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.2.1

Escreva $- 9$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{- 9}{1} - 2 - \frac{1}{2}$

Etapa 1.7.2.2

Multiplique $\frac{- 9}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9}{1} \cdot \frac{2}{2} - 2 - \frac{1}{2}$

Etapa 1.7.2.3

Multiplique $\frac{- 9}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} - 2 - \frac{1}{2}$

Etapa 1.7.2.4

Escreva $- 2$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} - \frac{1}{2}$

Etapa 1.7.2.5

Multiplique $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 1.7.2.6

Multiplique $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 1.7.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 9 \cdot 2 - 2 \cdot 2 - 1}{2}$

Etapa 1.7.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.1

Multiplique $- 9$ por $2$ .

$\frac{- 18 - 2 \cdot 2 - 1}{2}$

Etapa 1.7.4.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{- 18 - 4 - 1}{2}$

Etapa 1.7.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.5.1

Subtraia $4$ de $- 18$ .

$\frac{- 22 - 1}{2}$

Etapa 1.7.5.2

Subtraia $1$ de $- 22$ .

$\frac{- 23}{2}$

Etapa 1.7.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{23}{2}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use a inclinação $- \frac{23}{2}$ e um ponto determinado $(1, - 2)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = - \frac{23}{2} \cdot (x - (1))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 2 = - \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique $- \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y + 2 = 0 + 0 - \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y + 2 = - \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + 2 = - \frac{23}{2} x - \frac{23}{2} \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.4

Combine $x$ e $\frac{23}{2}$ .

$y + 2 = - \frac{x \cdot 23}{2} - \frac{23}{2} \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $- \frac{23}{2} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y + 2 = - \frac{x \cdot 23}{2} + 1 (\frac{23}{2})$

Etapa 2.3.1.5.2

Multiplique $\frac{23}{2}$ por $1$ .

$y + 2 = - \frac{x \cdot 23}{2} + \frac{23}{2}$

Etapa 2.3.1.6

Mova $23$ para a esquerda de $x$ .

$y + 2 = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2} - 2$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 2.3.2.3

Combine $- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23 - 2 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.3.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.5.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23 - 4}{2}$

Etapa 2.3.2.5.2

Subtraia $4$ de $23$ .

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{19}{2}$

Etapa 2.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Reordene os termos.

$y = - (\frac{23}{2} x) + \frac{19}{2}$

Etapa 2.3.3.2

Remova os parênteses.

$y = - \frac{23}{2} x + \frac{19}{2}$

Etapa 3