Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{20 x}{x^{2} - 5}$ ; $(5, 5)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 5$ e $y = 5$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{20 x}{x^{2} - 5}$ em relação a $x$ é $20 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 5}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 5}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - 5$ .

$20 \frac{(x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$20 \frac{(x^{2} - 5) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $x^{2} - 5$ por $1$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.5

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - x (2 x)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$20 \frac{x^{2} - 5 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 1.7

Some $1$ e $1$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 1.8

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$20 \frac{- x^{2} - 5}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 1.9

Combine $20$ e $\frac{- x^{2} - 5}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$ .

$\frac{20 (- x^{2} - 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 1.10

Simplifique.

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Etapa 1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{20 (- x^{2}) + 20 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 1.10.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.10.2.1

Multiplique $- 1$ por $20$ .

$\frac{- 20 x^{2} + 20 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 1.10.2.2

Multiplique $20$ por $- 5$ .

$\frac{- 20 x^{2} - 100}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 1.10.3

Fatore $20$ de $- 20 x^{2} - 100$ .

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Etapa 1.10.3.1

Fatore $20$ de $- 20 x^{2}$ .

$\frac{20 (- x^{2}) - 100}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 1.10.3.2

Fatore $20$ de $- 100$ .

$\frac{20 (- x^{2}) + 20 (- 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 1.10.3.3

Fatore $20$ de $20 (- x^{2}) + 20 (- 5)$ .

$\frac{20 (- x^{2} - 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 1.10.4

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{20 (- (x^{2}) - 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 1.10.5

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$\frac{20 (- (x^{2}) - 1 (5))}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 1.10.6

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (5)$ .

$\frac{20 (- (x^{2} + 5))}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 1.10.7

Reescreva $- (x^{2} + 5)$ como $- 1 (x^{2} + 5)$ .

$\frac{20 (- 1 (x^{2} + 5))}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 1.10.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{20 (x^{2} + 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 1.11

Avalie a derivada em $x = 5$ .

$- \frac{20 ({(5)}^{2} + 5)}{{({(5)}^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 1.12

Simplifique.

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Etapa 1.12.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.12.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$- \frac{20 (25 + 5)}{{(5^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 1.12.1.2

Some $25$ e $5$ .

$- \frac{20 \cdot 30}{{(5^{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 1.12.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.12.2.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$- \frac{20 \cdot 30}{{(25 - 5)}^{2}}$

Etapa 1.12.2.2

Subtraia $5$ de $25$ .

$- \frac{20 \cdot 30}{20^{2}}$

Etapa 1.12.2.3

Eleve $20$ à potência de $2$ .

$- \frac{20 \cdot 30}{400}$

Etapa 1.12.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 1.12.3.1

Multiplique $20$ por $30$ .

$- \frac{600}{400}$

Etapa 1.12.3.2

Cancele o fator comum de $600$ e $400$ .

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Etapa 1.12.3.2.1

Fatore $200$ de $600$ .

$- \frac{200 (3)}{400}$

Etapa 1.12.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.12.3.2.2.1

Fatore $200$ de $400$ .

$- \frac{200 \cdot 3}{200 \cdot 2}$

Etapa 1.12.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{200 \cdot 3}{200 \cdot 2}$

Etapa 1.12.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{3}{2}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- \frac{3}{2}$ e um ponto determinado $(5, 5)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = - \frac{3}{2} \cdot (x - (5))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 5 = - \frac{3}{2} \cdot (x - 5)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- \frac{3}{2} \cdot (x - 5)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 5 = 0 + 0 - \frac{3}{2} \cdot (x - 5)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 5 = - \frac{3}{2} \cdot (x - 5)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 5 = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 5$

Etapa 2.3.1.4

Combine $x$ e $\frac{3}{2}$ .

$y - 5 = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 5$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $- \frac{3}{2} \cdot - 5$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$y - 5 = - \frac{x \cdot 3}{2} + 5 (\frac{3}{2})$

Etapa 2.3.1.5.2

Combine $5$ e $\frac{3}{2}$ .

$y - 5 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{5 \cdot 3}{2}$

Etapa 2.3.1.5.3

Multiplique $5$ por $3$ .

$y - 5 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{15}{2}$

Etapa 2.3.1.6

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$y - 5 = - \frac{3 x}{2} + \frac{15}{2}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15}{2} + 5$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 2.3.2.3

Combine $5$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15 + 5 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.5.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15 + 10}{2}$

Etapa 2.3.2.5.2

Some $15$ e $10$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{25}{2}$

Etapa 2.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.3.3.1

Reordene os termos.

$y = - (\frac{3}{2} x) + \frac{25}{2}$

Etapa 2.3.3.2

Remova os parênteses.

$y = - \frac{3}{2} x + \frac{25}{2}$

Etapa 3