Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 \sin (x)$ at $x = \frac{3}{4} π$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = \frac{3}{4} \cdot π$ .

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Etapa 1.1

Substitua $\frac{3}{4} \cdot π$ por $x$ .

$y = 2 \sin (\frac{3}{4} \cdot π)$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = 2 \sin (\frac{3}{4} \cdot π)$

Etapa 1.2.2

Simplifique $2 \sin (\frac{3}{4} \cdot π)$ .

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Etapa 1.2.2.1

Combine $\frac{3}{4}$ e $π$ .

$y = 2 \sin (\frac{3 π}{4})$

Etapa 1.2.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$y = 2 \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.2.2.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = 2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$y = 2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \sqrt{2}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = \frac{3}{4} π$ e $y = \sqrt{2}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \sin (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$2 \cos (x)$

Etapa 2.3

Avalie a derivada em $x = \frac{3}{4} \cdot π$ .

$2 \cos (\frac{3}{4} \cdot π)$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Combine $\frac{3}{4}$ e $π$ .

$2 \cos (\frac{3 π}{4})$

Etapa 2.4.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$2 (- \cos (\frac{π}{4}))$

Etapa 2.4.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 2.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.4.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ para o numerador.

$2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.4.4.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.4.4.3

Reescreva a expressão.

$- \sqrt{2}$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $- \sqrt{2}$ e um ponto determinado $(\frac{3}{4} \cdot π, \sqrt{2})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\sqrt{2}) = - \sqrt{2} \cdot (x - (\frac{3}{4} \cdot π))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \sqrt{2} = - \sqrt{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $- \sqrt{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - \sqrt{2} = 0 + 0 - \sqrt{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - \sqrt{2} = - \sqrt{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \sqrt{2} = - \sqrt{2} x - \sqrt{2} (- \frac{3 π}{4})$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $- \sqrt{2} (- \frac{3 π}{4})$ .

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Etapa 3.3.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y - \sqrt{2} = - \sqrt{2} x + 1 \sqrt{2} \frac{3 π}{4}$

Etapa 3.3.1.4.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$y - \sqrt{2} = - \sqrt{2} x + \sqrt{2} \frac{3 π}{4}$

Etapa 3.3.1.4.3

Combine $\sqrt{2}$ e $\frac{3 π}{4}$ .

$y - \sqrt{2} = - \sqrt{2} x + \frac{\sqrt{2} (3 π)}{4}$

Etapa 3.3.1.5

Mova $3$ para a esquerda de $\sqrt{2}$ .

$y - \sqrt{2} = - \sqrt{2} x + \frac{3 \sqrt{2} π}{4}$

Etapa 3.3.2

Some $\sqrt{2}$ aos dois lados da equação.

$y = - \sqrt{2} x + \frac{3 \sqrt{2} π}{4} + \sqrt{2}$

Etapa 3.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 3.3.3.1

Para escrever $\sqrt{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$y = - \sqrt{2} x + \frac{3 \sqrt{2} π}{4} + \sqrt{2} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 3.3.3.2

Combine $\sqrt{2}$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = - \sqrt{2} x + \frac{3 \sqrt{2} π}{4} + \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{4}$

Etapa 3.3.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \sqrt{2} x + \frac{3 \sqrt{2} π + \sqrt{2} \cdot 4}{4}$

Etapa 3.3.3.4

Mova $4$ para a esquerda de $\sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2} x + \frac{3 \sqrt{2} π + 4 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 4