Cálculo Exemplos

$f (x) = - 4 x^{\frac{1}{2}} + x^{- 1} - 3$ at the point $(4, - \frac{43}{4})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 4$ e $y = - \frac{43}{4}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 4 x^{\frac{1}{2}} + x^{- 1} - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.2.8

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.2.9

Combine $- 4$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.2.10

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.2.11

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.2.12

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.12.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.2.12.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.2.12.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.2.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.3.2

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - x^{- 2} + 0$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{2}} + 0$

Etapa 1.4.2

Some $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{2}}$ e $0$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.4.3

Reordene os termos.

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.5

Avalie a derivada em $x = 4$ .

$- \frac{1}{{(4)}^{2}} - \frac{2}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.6.1.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.6.1.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.6.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 1.6.1.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.6.1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 1.6.1.2.3.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2^{1}}$

Etapa 1.6.1.2.4

Avalie o expoente.

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2}$

Etapa 1.6.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.6.1.3.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2}$

Etapa 1.6.1.3.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{16} - 1 \cdot 1$

Etapa 1.6.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{16} - 1$

Etapa 1.6.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{1}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}$

Etapa 1.6.3

Combine $- 1$ e $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{1}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}$

Etapa 1.6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1 - 1 \cdot 16}{16}$

Etapa 1.6.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.6.5.1

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$\frac{- 1 - 16}{16}$

Etapa 1.6.5.2

Subtraia $16$ de $- 1$ .

$\frac{- 17}{16}$

Etapa 1.6.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{17}{16}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- \frac{17}{16}$ e um ponto determinado $(4, - \frac{43}{4})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{43}{4}) = - \frac{17}{16} \cdot (x - (4))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{17}{16} \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- \frac{17}{16} \cdot (x - 4)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y + \frac{43}{4} = 0 + 0 - \frac{17}{16} \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{17}{16} x - \frac{17}{16} \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.2.2

Combine $x$ e $\frac{17}{16}$ .

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} - \frac{17}{16} \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.2.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.3.1.2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{17}{16}$ para o numerador.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{16} \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.2.3.2

Fatore $4$ de $16$ .

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{4 (4)} \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.2.3.3

Fatore $4$ de $- 4$ .

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.2.3.4

Cancele o fator comum.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.2.3.5

Reescreva a expressão.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{4} \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.2.4

Combine $\frac{- 17}{4}$ e $- 1$ .

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17 \cdot - 1}{4}$

Etapa 2.3.1.2.5

Multiplique $- 17$ por $- 1$ .

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{17}{4}$

Etapa 2.3.1.3

Mova $17$ para a esquerda de $x$ .

$y + \frac{43}{4} = - \frac{17 x}{16} + \frac{17}{4}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Subtraia $\frac{43}{4}$ dos dois lados da equação.

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{17}{4} - \frac{43}{4}$

Etapa 2.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{- 17 x}{16} + \frac{17 - 43}{4}$

Etapa 2.3.2.3

Subtraia $43$ de $17$ .

$y = \frac{- 17 x}{16} + \frac{- 26}{4}$

Etapa 2.3.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.2.4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{- 26}{4}$

Etapa 2.3.2.4.2

Cancele o fator comum de $- 26$ e $4$ .

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Etapa 2.3.2.4.2.1

Fatore $2$ de $- 26$ .

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{2 (- 13)}{4}$

Etapa 2.3.2.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.2.4.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{2 \cdot - 13}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.3.2.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{2 \cdot - 13}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.3.2.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{- 13}{2}$

Etapa 2.3.2.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{17 x}{16} - \frac{13}{2}$

Etapa 2.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.3.3.1

Reordene os termos.

$y = - (\frac{17}{16} x) - \frac{13}{2}$

Etapa 2.3.3.2

Remova os parênteses.

$y = - \frac{17}{16} x - \frac{13}{2}$

Etapa 3