Cálculo Exemplos

$y = x e^{- x^{2}}$ , $(0, 0)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 0$ e $y = 0$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x^{2}$ .

$x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x^{1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.7.1

Some $1$ e $1$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.7.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- x^{2}}$ .

$x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$

Etapa 1.9

Multiplique $e^{- x^{2}}$ por $1$ .

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}}$

Etapa 1.10

Simplifique.

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Etapa 1.10.1

Reordene os termos.

$- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$

Etapa 1.10.2

Reordene os fatores em $- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$ .

$- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$

Etapa 1.11

Avalie a derivada em $x = 0$ .

$- 2 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 1.12

Simplifique.

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Etapa 1.12.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.12.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 2 \cdot 0 e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 1.12.1.2

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$0 e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 1.12.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 e^{- 0} + e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 1.12.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 e^{0} + e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 1.12.1.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 \cdot 1 + e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 1.12.1.6

Multiplique $0$ por $1$ .

$0 + e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 1.12.1.7

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + e^{- 0}$

Etapa 1.12.1.8

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 + e^{0}$

Etapa 1.12.1.9

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 + 1$

Etapa 1.12.2

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $1$ e um ponto determinado $(0, 0)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 1 \cdot (x - (0))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 0 = 1 \cdot (x + 0)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Some $y$ e $0$ .

$y = 1 \cdot (x + 0)$

Etapa 2.3.2

Simplifique $1 \cdot (x + 0)$ .

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Etapa 2.3.2.1

Multiplique $x + 0$ por $1$ .

$y = x + 0$

Etapa 2.3.2.2

Some $x$ e $0$ .

$y = x$

Etapa 3