Cálculo Exemplos

$y = x^{3} e^{- x}$ , $(1, \frac{1}{e})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = \frac{1}{e}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.3.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.3.3.3

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2})$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Reordene os termos.

$- e^{- x} x^{3} + 3 e^{- x} x^{2}$

Etapa 1.4.2

Reordene os fatores em $- e^{- x} x^{3} + 3 e^{- x} x^{2}$ .

$- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x}$

Etapa 1.5

Avalie a derivada em $x = 1$ .

$- {(1)}^{3} e^{- (1)} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 1 \cdot 1 e^{- (1)} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Etapa 1.6.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1 e^{- (1)} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Etapa 1.6.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1 e^{- 1} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Etapa 1.6.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 1 \frac{1}{e} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Etapa 1.6.1.5

Reescreva $- 1 \frac{1}{e}$ como $- \frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Etapa 1.6.1.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{1}{e} + 3 \cdot 1 e^{- (1)}$

Etapa 1.6.1.7

Multiplique $3$ por $1$ .

$- \frac{1}{e} + 3 e^{- (1)}$

Etapa 1.6.1.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{e} + 3 e^{- 1}$

Etapa 1.6.1.9

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} + 3 \frac{1}{e}$

Etapa 1.6.1.10

Combine $3$ e $\frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e} + \frac{3}{e}$

Etapa 1.6.2

Combine frações.

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Etapa 1.6.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1 + 3}{e}$

Etapa 1.6.2.2

Some $- 1$ e $3$ .

$\frac{2}{e}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{2}{e}$ e um ponto determinado $(1, \frac{1}{e})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{e}) = \frac{2}{e} \cdot (x - (1))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \frac{1}{e} = \frac{2}{e} \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.3.1.1

Subtraia $\frac{2}{e} \cdot (x - 1)$ dos dois lados da equação.

$y - \frac{1}{e} - \frac{2}{e} \cdot (x - 1) = 0$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \frac{1}{e} - \frac{2}{e} x - \frac{2}{e} \cdot - 1 = 0$

Etapa 2.3.1.2.2

Combine $x$ e $\frac{2}{e}$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 2}{e} - \frac{2}{e} \cdot - 1 = 0$

Etapa 2.3.1.2.3

Multiplique $- \frac{2}{e} \cdot - 1$ .

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Etapa 2.3.1.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 2}{e} + 1 \frac{2}{e} = 0$

Etapa 2.3.1.2.3.2

Multiplique $\frac{2}{e}$ por $1$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 2}{e} + \frac{2}{e} = 0$

Etapa 2.3.1.2.4

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{2 x}{e} + \frac{2}{e} = 0$

Etapa 2.3.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y + \frac{- 1 - 2 x + 2}{e} = 0$

Etapa 2.3.1.4

Some $- 1$ e $2$ .

$y + \frac{- 2 x + 1}{e} = 0$

Etapa 2.3.1.5

Para escrever $y$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{e}{e}$ .

$\frac{y e}{e} + \frac{- 2 x + 1}{e} = 0$

Etapa 2.3.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{y e - 2 x + 1}{e} = 0$

Etapa 2.3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$y e - 2 x + 1 = 0$

Etapa 2.3.3

Resolva a equação para $y$ .

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Etapa 2.3.3.1

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.3.1.1

Some $2 x$ aos dois lados da equação.

$y e + 1 = 2 x$

Etapa 2.3.3.1.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y e = 2 x - 1$

Etapa 2.3.3.2

Divida cada termo em $y e = 2 x - 1$ por $e$ e simplifique.

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Etapa 2.3.3.2.1

Divida cada termo em $y e = 2 x - 1$ por $e$ .

$\frac{y e}{e} = \frac{2 x}{e} + \frac{- 1}{e}$

Etapa 2.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $e$ .

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Etapa 2.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y e}{e} = \frac{2 x}{e} + \frac{- 1}{e}$

Etapa 2.3.3.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{2 x}{e} + \frac{- 1}{e}$

Etapa 2.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{2 x}{e} - \frac{1}{e}$

Etapa 2.3.4

Reordene os termos.

$y = \frac{2}{e} x - \frac{1}{e}$

Etapa 3