Cálculo Exemplos

$y = 6 \sin (x)$ at the point $(\frac{π}{6}, 3)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = \frac{π}{6}$ e $y = 3$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 \sin (x)$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$6 \cos (x)$

Etapa 1.3

Avalie a derivada em $x = \frac{π}{6}$ .

$6 \cos (\frac{π}{6})$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.4.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$2 (3) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 3 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$3 \sqrt{3}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $3 \sqrt{3}$ e um ponto determinado $(\frac{π}{6}, 3)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = 3 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 3 = 3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 3 = 0 + 0 + 3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 3 = 3 \sqrt{3} x + 3 \sqrt{3} (- \frac{π}{6})$

Etapa 2.3.1.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.3.1.2.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{6}$ para o numerador.

$y - 3 = 3 \sqrt{3} x + 3 \sqrt{3} \frac{- π}{6}$

Etapa 2.3.1.2.2.2

Fatore $3$ de $3 \sqrt{3}$ .

$y - 3 = 3 \sqrt{3} x + 3 (\sqrt{3}) \frac{- π}{6}$

Etapa 2.3.1.2.2.3

Fatore $3$ de $6$ .

$y - 3 = 3 \sqrt{3} x + 3 (\sqrt{3}) \frac{- π}{3 (2)}$

Etapa 2.3.1.2.2.4

Cancele o fator comum.

$y - 3 = 3 \sqrt{3} x + 3 \sqrt{3} \frac{- π}{3 \cdot 2}$

Etapa 2.3.1.2.2.5

Reescreva a expressão.

$y - 3 = 3 \sqrt{3} x + \sqrt{3} \frac{- π}{2}$

Etapa 2.3.1.2.3

Combine $\sqrt{3}$ e $\frac{- π}{2}$ .

$y - 3 = 3 \sqrt{3} x + \frac{\sqrt{3} (- π)}{2}$

Etapa 2.3.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.3.1

Fatore o negativo.

$y - 3 = 3 \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} π}{2}$

Etapa 2.3.1.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - 3 = 3 \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π}{2}$

Etapa 2.3.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$y = 3 \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π}{2} + 3$

Etapa 2.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = 3 \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 2.3.3.2

Combine $3$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = 3 \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.3.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = 3 \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} π + 3 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.3.3.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$y = 3 \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} π + 6}{2}$

Etapa 2.3.3.5

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{3} π$ .

$y = 3 \sqrt{3} x + \frac{- (\sqrt{3} π) + 6}{2}$

Etapa 2.3.3.6

Reescreva $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$y = 3 \sqrt{3} x + \frac{- (\sqrt{3} π) - 1 (- 6)}{2}$

Etapa 2.3.3.7

Fatore $- 1$ de $- (\sqrt{3} π) - 1 (- 6)$ .

$y = 3 \sqrt{3} x + \frac{- (\sqrt{3} π - 6)}{2}$

Etapa 2.3.3.8

Reescreva $- (\sqrt{3} π - 6)$ como $- 1 (\sqrt{3} π - 6)$ .

$y = 3 \sqrt{3} x + \frac{- 1 (\sqrt{3} π - 6)}{2}$

Etapa 2.3.3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = 3 \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π - 6}{2}$

Etapa 3