Cálculo Exemplos

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 3$ , $(4, 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 4$ e $y = 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Reescreva o lado esquerdo com expoentes racionais.

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Etapa 1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \sqrt{y} = 3$

Etapa 1.1.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} = 3$

Etapa 1.2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 1.3

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Etapa 1.3.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.2.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 1.3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.3.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.3.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y'$

Etapa 1.3.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y'$

Etapa 1.3.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y'$

Etapa 1.3.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y'$

Etapa 1.3.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y'$

Etapa 1.3.3.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y'$

Etapa 1.3.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y'$

Etapa 1.3.3.8

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y'$

Etapa 1.3.3.9

Combine $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $y'$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2}$

Etapa 1.3.3.10

Mova $y^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.3.4

Simplifique.

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Etapa 1.3.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.3.4.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 1.5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 1.6

Resolva $y'$ .

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Etapa 1.6.1

Subtraia $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.6.2

Multiplique os dois lados por $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.6.3

Simplifique.

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Etapa 1.6.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.6.3.1.1

Simplifique $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Etapa 1.6.3.1.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.6.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.6.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.6.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.6.3.1.1.3

Cancele o fator comum de $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 1.6.3.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.6.3.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.6.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.6.3.2.1

Simplifique $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Etapa 1.6.3.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.6.3.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ para o numerador.

$y' = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.6.3.2.1.1.2

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.6.3.2.1.1.3

Fatore $2$ de $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} (2 (y^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 1.6.3.2.1.1.4

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.6.3.2.1.1.5

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.6.3.2.1.2

Combine $\frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.6.3.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.7

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.8

Avalie em $x = 4$ e $y = 1$ .

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Etapa 1.8.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$- \frac{y^{\frac{1}{2}}}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.8.2

Substitua a variável $y$ por $1$ na expressão.

$- \frac{{(1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.8.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.8.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.8.4.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.8.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 1.8.4.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.8.4.3.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 1.8.4.3.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2^{1}}$

Etapa 1.8.4.4

Avalie o expoente.

$- \frac{1}{2}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- \frac{1}{2}$ e um ponto determinado $(4, 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (4))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- \frac{1}{2} \cdot (x - 4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 1 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.4

Combine $x$ e $\frac{1}{2}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.5.2

Fatore $2$ de $- 4$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 2))$

Etapa 2.3.1.5.3

Cancele o fator comum.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 2)$

Etapa 2.3.1.5.4

Reescreva a expressão.

$y - 1 = - \frac{x}{2} - 1 \cdot - 2$

Etapa 2.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + 2$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = - \frac{x}{2} + 2 + 1$

Etapa 2.3.2.2

Some $2$ e $1$ .

$y = - \frac{x}{2} + 3$

Etapa 2.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.3.3.1

Reordene os termos.

$y = - (\frac{1}{2} x) + 3$

Etapa 2.3.3.2

Remova os parênteses.

$y = - \frac{1}{2} x + 3$

Etapa 3