Cálculo Exemplos

$f (x) = {({(x - 2)}^{2} - x)}^{2}$ at $x = 3$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Substitua $3$ por $x$ .

$y = {({((3) - 2)}^{2} - (3))}^{2}$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = {({(3 - 2)}^{2} - (3))}^{2}$

Etapa 1.2.2

Remova os parênteses.

$y = {({((3) - 2)}^{2} - (3))}^{2}$

Etapa 1.2.3

Simplifique ${({((3) - 2)}^{2} - (3))}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Subtraia $2$ de $3$ .

$y = {(1^{2} - (3))}^{2}$

Etapa 1.2.3.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = {(1 - (3))}^{2}$

Etapa 1.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$y = {(1 - 3)}^{2}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.3.2.1

Subtraia $3$ de $1$ .

$y = {(- 2)}^{2}$

Etapa 1.2.3.2.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$y = 4$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 3$ e $y = 4$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(x - 2)}^{2} - x$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(x - 2)}^{2} - x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - x]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - x]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(x - 2)}^{2} - x$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - x]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${(x - 2)}^{2} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 2$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x - 2$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x - 2$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 2.4

Diferencie.

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Etapa 2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 2.4.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 2.4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 2.4.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 2.4.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) - \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) - 1 \cdot 1)$

Etapa 2.4.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) - 1)$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 {(x - 2)}^{2} + 2 (- x)) (2 (x - 2) - 1)$

Etapa 2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 {(x - 2)}^{2} + 2 (- x)) (2 x + 2 \cdot - 2 - 1)$

Etapa 2.5.3

Combine os termos.

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Etapa 2.5.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$(2 {(x - 2)}^{2} - 2 x) (2 x + 2 \cdot - 2 - 1)$

Etapa 2.5.3.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$(2 {(x - 2)}^{2} - 2 x) (2 x - 4 - 1)$

Etapa 2.5.3.3

Subtraia $1$ de $- 4$ .

$(2 {(x - 2)}^{2} - 2 x) (2 x - 5)$

Etapa 2.5.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.4.1

Reescreva ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$(2 ((x - 2) (x - 2)) - 2 x) (2 x - 5)$

Etapa 2.5.4.2

Expanda $(x - 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.5.4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) - 2 x) (2 x - 5)$

Etapa 2.5.4.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) - 2 x) (2 x - 5)$

Etapa 2.5.4.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - 2 x) (2 x - 5)$

Etapa 2.5.4.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.5.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.4.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$(2 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - 2 x) (2 x - 5)$

Etapa 2.5.4.3.1.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$(2 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) - 2 x) (2 x - 5)$

Etapa 2.5.4.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$(2 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) - 2 x) (2 x - 5)$

Etapa 2.5.4.3.2

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$(2 (x^{2} - 4 x + 4) - 2 x) (2 x - 5)$

Etapa 2.5.4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4 - 2 x) (2 x - 5)$

Etapa 2.5.4.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.4.5.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$(2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 4 - 2 x) (2 x - 5)$

Etapa 2.5.4.5.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$(2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x) (2 x - 5)$

Etapa 2.5.5

Subtraia $2 x$ de $- 8 x$ .

$(2 x^{2} - 10 x + 8) (2 x - 5)$

Etapa 2.5.6

Expanda $(2 x^{2} - 10 x + 8) (2 x - 5)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Etapa 2.5.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.7.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \cdot 2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Etapa 2.5.7.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.5.7.2.1

Mova $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Etapa 2.5.7.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 2.5.7.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Etapa 2.5.7.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \cdot 2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Etapa 2.5.7.2.3

Some $1$ e $2$ .

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Etapa 2.5.7.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Etapa 2.5.7.4

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Etapa 2.5.7.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 10 \cdot 2 x \cdot x - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Etapa 2.5.7.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.5.7.6.1

Mova $x$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 10 \cdot 2 (x \cdot x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Etapa 2.5.7.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 10 \cdot 2 x^{2} - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Etapa 2.5.7.7

Multiplique $- 10$ por $2$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x^{2} - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Etapa 2.5.7.8

Multiplique $- 5$ por $- 10$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x^{2} + 50 x + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Etapa 2.5.7.9

Multiplique $2$ por $8$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x^{2} + 50 x + 16 x + 8 \cdot - 5$

Etapa 2.5.7.10

Multiplique $8$ por $- 5$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x^{2} + 50 x + 16 x - 40$

Etapa 2.5.8

Subtraia $20 x^{2}$ de $- 10 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 50 x + 16 x - 40$

Etapa 2.5.9

Some $50 x$ e $16 x$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 66 x - 40$

Etapa 2.6

Avalie a derivada em $x = 3$ .

$4 {(3)}^{3} - 30 {(3)}^{2} + 66 (3) - 40$

Etapa 2.7

Simplifique.

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Etapa 2.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.7.1.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$4 \cdot 27 - 30 {(3)}^{2} + 66 (3) - 40$

Etapa 2.7.1.2

Multiplique $4$ por $27$ .

$108 - 30 {(3)}^{2} + 66 (3) - 40$

Etapa 2.7.1.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$108 - 30 \cdot 9 + 66 (3) - 40$

Etapa 2.7.1.4

Multiplique $- 30$ por $9$ .

$108 - 270 + 66 (3) - 40$

Etapa 2.7.1.5

Multiplique $66$ por $3$ .

$108 - 270 + 198 - 40$

Etapa 2.7.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 2.7.2.1

Subtraia $270$ de $108$ .

$- 162 + 198 - 40$

Etapa 2.7.2.2

Some $- 162$ e $198$ .

$36 - 40$

Etapa 2.7.2.3

Subtraia $40$ de $36$ .

$- 4$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $- 4$ e um ponto determinado $(3, 4)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - 4 \cdot (x - (3))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 4 = - 4 \cdot (x - 3)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $- 4 \cdot (x - 3)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - 4 = 0 + 0 - 4 \cdot (x - 3)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 4 = - 4 \cdot (x - 3)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 4 = - 4 x - 4 \cdot - 3$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $- 4$ por $- 3$ .

$y - 4 = - 4 x + 12$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$y = - 4 x + 12 + 4$

Etapa 3.3.2.2

Some $12$ e $4$ .

$y = - 4 x + 16$

Etapa 4