Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln^{5} (x)$ at $x = 4$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = 4$ .

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Etapa 1.1

Substitua $4$ por $x$ .

$y = \ln ({(4)}^{5})$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = \ln (4^{5})$

Etapa 1.2.2

Remova os parênteses.

$y = \ln ({(4)}^{5})$

Etapa 1.2.3

Eleve $4$ à potência de $5$ .

$y = \ln (1024)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 4$ e $y = \ln (1024)$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = {(x)}^{5}$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como ${(x)}^{5}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [{(x)}^{5}]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [{(x)}^{5}]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por ${(x)}^{5}$ .

$\frac{1}{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{1}{x^{5}} (5 x^{4})$

Etapa 2.2.2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.2.2.1

Combine $5$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{5}{x^{5}} x^{4}$

Etapa 2.2.2.2

Combine $\frac{5}{x^{5}}$ e $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{x^{5}}$

Etapa 2.2.2.3

Cancele o fator comum de $x^{4}$ e $x^{5}$ .

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Etapa 2.2.2.3.1

Fatore $x^{4}$ de $5 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \cdot 5}{x^{5}}$

Etapa 2.2.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.2.3.2.1

Fatore $x^{4}$ de $x^{5}$ .

$\frac{x^{4} \cdot 5}{x^{4} x}$

Etapa 2.2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{4} \cdot 5}{x^{4} x}$

Etapa 2.2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{x}$

Etapa 2.3

Avalie a derivada em $x = 4$ .

$\frac{5}{4}$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $\frac{5}{4}$ e um ponto determinado $(4, \ln (1024))$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\ln (1024)) = \frac{5}{4} \cdot (x - (4))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \ln (1024) = \frac{5}{4} \cdot (x - 4)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $\frac{5}{4} \cdot (x - 4)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - \ln (1024) = 0 + 0 + \frac{5}{4} \cdot (x - 4)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - \ln (1024) = \frac{5}{4} \cdot (x - 4)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \ln (1024) = \frac{5}{4} x + \frac{5}{4} \cdot - 4$

Etapa 3.3.1.4

Combine $\frac{5}{4}$ e $x$ .

$y - \ln (1024) = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{4} \cdot - 4$

Etapa 3.3.1.5

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.3.1.5.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$y - \ln (1024) = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{4} \cdot (4 (- 1))$

Etapa 3.3.1.5.2

Cancele o fator comum.

$y - \ln (1024) = \frac{5 x}{4} + \frac{5}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Etapa 3.3.1.5.3

Reescreva a expressão.

$y - \ln (1024) = \frac{5 x}{4} + 5 \cdot - 1$

Etapa 3.3.1.6

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$y - \ln (1024) = \frac{5 x}{4} - 5$

Etapa 3.3.2

Some $\ln (1024)$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{5 x}{4} - 5 + \ln (1024)$

Etapa 3.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{5}{4} x - 5 + \ln (1024)$

Etapa 4