Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 20 x^{2} + 64$ ; $x = 2$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = 2$ .

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Etapa 1.1

Substitua $2$ por $x$ .

$y = {(2)}^{4} - 20 {(2)}^{2} + 64$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = 2^{4} - 20 {(2)}^{2} + 64$

Etapa 1.2.2

Remova os parênteses.

$y = 2^{4} - 20 \cdot 2^{2} + 64$

Etapa 1.2.3

Remova os parênteses.

$y = {(2)}^{4} - 20 {(2)}^{2} + 64$

Etapa 1.2.4

Simplifique ${(2)}^{4} - 20 {(2)}^{2} + 64$ .

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Etapa 1.2.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.4.1.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$y = 16 - 20 {(2)}^{2} + 64$

Etapa 1.2.4.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = 16 - 20 \cdot 4 + 64$

Etapa 1.2.4.1.3

Multiplique $- 20$ por $4$ .

$y = 16 - 80 + 64$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 1.2.4.2.1

Subtraia $80$ de $16$ .

$y = - 64 + 64$

Etapa 1.2.4.2.2

Some $- 64$ e $64$ .

$y = 0$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 2$ e $y = 0$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 20 x^{2} + 64$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 20 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 20 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 20 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 20 (2 x) + \frac{d}{d x} [64]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 20$ .

$4 x^{3} - 40 x + \frac{d}{d x} [64]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $64$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} - 40 x + 0$

Etapa 2.3.2

Some $4 x^{3} - 40 x$ e $0$ .

$4 x^{3} - 40 x$

Etapa 2.4

Avalie a derivada em $x = 2$ .

$4 {(2)}^{3} - 40 \cdot 2$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$4 \cdot 8 - 40 \cdot 2$

Etapa 2.5.1.2

Multiplique $4$ por $8$ .

$32 - 40 \cdot 2$

Etapa 2.5.1.3

Multiplique $- 40$ por $2$ .

$32 - 80$

Etapa 2.5.2

Subtraia $80$ de $32$ .

$- 48$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $- 48$ e um ponto determinado $(2, 0)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = - 48 \cdot (x - (2))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 0 = - 48 \cdot (x - 2)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Some $y$ e $0$ .

$y = - 48 \cdot (x - 2)$

Etapa 3.3.2

Simplifique $- 48 \cdot (x - 2)$ .

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Etapa 3.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - 48 x - 48 \cdot - 2$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $- 48$ por $- 2$ .

$y = - 48 x + 96$

Etapa 4